Teorema 1.2 de Bennett y Skinner (Canadá. J. Math., 2004) afirma que el Diophantine ecuación $x^{p} - 4y^{p} = z^{2}$ es irresoluble para cada prime $p \geq 7.$ La siguiente es una posible prueba de que el Último Teorema de Fermat es una consecuencia de este teorema, es decir, la prueba de que si existen enteros de $x, y, z > 0$ tales que $(x, y) = 1$ y $x^{p} + y^{p} = z^{p},$ entonces existen enteros $a, b, c > 0$ tales que $(a, b)=1$ y $a^{p} - 4b^{p} = c^{2}$.
Tomar un primer $p \geq 7.$ Vamos a demostrar el Último Teorema de Fermat en el formulario: Tomar enteros de $x, y, z > 0$. Si $(x, y) = 1,$ entonces $x^{p} + y^{p} \neq z^{p}$.
Se argumenta por la contradicción. Por la ecuación $x^{p} + y^{p} = z^{p}$ hay un racional $0 < r < 1$ tal que $$x^{p} = rz^{p}\ \ \mbox{y}\ \ y^{p} = (1-r)z^{p},$$ así que $$r^{2} - r + \dfrac{(x-y)^{p}}{z^{2}} = 0,$$ y por lo tanto $$r = \dfrac{1 + \sqrt{1 - 4(x-y)^{p}/z^{2}}}{2}\ \ \mbox{o}\ \ \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4(x-y)^{p}/z^{2}}}{2}.$$ Por lo tanto, la diferencia $1 - 4(x-y)^{p}/z^{2} \geq 0$ es ser un cuadrado perfecto. Pero ya $$1 - \dfrac{4(xy)^{p}}{z^{2}} = \dfrac{z^{2} - 4(x-y)^{p}}{z^{2}},$$ desde $z^{2}$ es un cuadrado perfecto, y ya si $z^{2} = 4(x-y)^{p}$ a continuación, a partir de la ecuación $x^{p} + y^{p} = z^{p}$ tenemos $x = y$ que conduce a una contradicción, así que no es un número entero $c > 0$ tal que $a$z^{2} - 4(x-y)^{p} = c^{2}.$$ En la elección de $$a := z^{2}\ \ \mbox{y}\ \ b := xy$$ tenemos $$a, b > 0\ \ \mbox{y}\ \ a^{p} - 4b^{p} = c^{2}.$$ Por otra parte, porque $(x, y) = 1$ y $x^{p} + y^{p} = z^{p},$ tenemos $(x, y) = (y, z) = (x, z) = 1,$ de dónde $$(a, b) = 1.$$ Pero la existencia de tales $a, b, c$ contradice el Teorema 1.2 de Bennett y Skinner [1].
