¿Qué se entiende por " $S$ -matriz estrictamente diagonal dominante" en el libro 'Geršgorin y sus círculos'

Question

¿Qué se entiende por " $S$ -matriz estrictamente diagonalmente dominante" en el libro Geršgorin y sus círculos.

La definición de estrictamente dominante en diagonal es fácil de encontrar, pero la definición de " $S$ -Se necesita una "matriz estrictamente diagonalmente dominante".

Answer 1

Recordemos que una matriz $A=(a_{ij})_{i=1, \, j=1}^{n,n}$ se llama estrictamente diagonalmente dominante si $|a_{ii}| \gt \sum_{j=1, \, j\neq i}^n |a_{ij}|$ para cada $i$ . Es decir, para cada fila la entrada diagonal es en valor absoluto mayor que la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas de la misma fila.

El "estrictamente" se refiere a que la desigualdad es "estricta".

Ahora, para un subconjunto $S \subset \{1, \dots, n\}$ se llama a la matriz $S$ -estrictamente dominante en diagonal si

• $|a_{ii}|> r_i^S(A)$ para todos $i \in S$ y
• $(|a_{ii}-r_i^S(A))(|a_{jj}|-r_j^{\overline{S}}(A))> r_i^{\overline{S}}(A)r_j^S(A)$ para todos $i \in S$ y $j \in \overline{S}$

donde $r_i^T(A)= \sum_{j \in T, \, j \neq i}|a_{ij}| $ y $\overline{S}$ es el complemento de $S$ .

El caso especial $S= \{1, \dots, n \}$ da lugar a la primera definición.

La relevancia de esta noción es que es más débil que la dominante estrictamente diagonal (toda matriz SSD es $S$ -SSD para cada $S$ ), pero aún así permite derivar algunas de las mismas conclusiones sobre la matriz.

Un ejemplo de matriz que es $\{1,2\}$ -SSD pero no SSD es:

$$ \begin{pmatrix} 2.6 & -0.4 & -0.7 & -0.2 \\ -0.4 & 2.6 & -0.5 & -0.7 \\ -0.6 & -0.7 & 2.2 & -1.0 \\ -0.8 & -0.7 & -0.5 & 2.2 \end{pmatrix} $$ tomado de Bru, Pedroche, Szyld "Sumas subdirectas de matrices diagonalmente dominantes en S".