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Problema matemático de efecto iónico común

La pregunta era:

Si se le da un $1$ Litro solución de $\ce{CaF_2}$ donde hay $2.0 \times 10^{-5}$ M $\ce{Ca^{2+}}$ . ¿Cuántos mililitros de $0.1$ M $\ce{NaF}$ necesitaría precipitar $\ce{CaF_2}$ ? El producto de solubilidad de $\ce{CaF_2}$ es $1.7\times10^{-10}$ .

La respuesta dada es

956 ml

Lo que intenté: Pensé que si $x$ Litros de $\ce{NaF}$ es necesario para precipitar $\ce{CaF_2}$ y después de la mezcla, el producto iónico( $K_{ip}$ ) de $\ce{CaF_2}$ superará el producto de solubilidad( $K_{sp}$ ). $$K_{ip} > K_{sp}$$ $$\ce{[Ca^2+][F-]^2} > K_{sp}$$ y a partir de esta ecuación traté de resolver el valor de $x$ .

Esto es lo que he probado en detalle:-

paso 1) Escriba la reacción de disociación de $\ce{CaF_2}$

$\ce{CaF_2 <=> Ca^{2+} + 2F-}$

y de la fórmula del producto de solubilidad $K_{sp} = \ce{[Ca^2+][F-]^2}$ He calculado la concentración de $\ce{[F-]}$ que obtuve fue $2.91\times10^{-3}$ .

paso 2) A continuación, volví a calcular la concentración de $\ce{Ca^2+}$ y $\ce{F-}$ después de añadir $x$ Litros, utilizando la fórmula $\ce{S_1\times V_1 = S_2\times V_2}$ porque el volumen ahora no era $1$ Litro, pero $(1+x)$ Litros.

Tengo $$\ce{[Ca^2+] = \frac{2\times 10^{-5}}{(1+x)}}M$$ $$\ce{[F-] = ( \frac{0.1x}{1+x} + \frac{2.9\times 10^{-3}}{1+x})}M$$

paso 3) Entonces, como dije antes, la condición de la precipitación sería la siguiente $$K_{ip} > K_{sp}$$ $$\ce{[Ca^2+][F-]^2} > K_{sp}$$

Así, a partir de la ecuación anterior, he calculado el valor de $x$ que obtuve fue $1.8$ Litros (aproximadamente) que no se acercaba a la respuesta dada en el libro. ¿Cómo resolver este problema?

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MaxW Puntos 1399

En primer lugar, la pregunta no tiene mucho sentido. $\ce{CaF_2}$ es prácticamente insoluble, por lo que una "solución de $\ce{CaF_2}$ " es una frase realmente impar.

Dejando de lado este detalle, los reactivos son 1 L de un $2.0 \times 10^{-5}$ M $\ce{Ca^{2+}}$ y un $0.1$ M $\ce{F^-}$ solución y $\ce{CaF_2}$ debe precipitarse.

Esto es un uso descuidado de las cifras significativas ya que el volumen de 1L y la molaridad del $\ce{F^-}$ solución sólo se dan con una cifra significativa.

Ignorando también el problema de las cifras significativas, trabajemos hacia atrás desde la respuesta dada de 946 ml.

Para la solución inicial podemos resolver los moles de $\ce{Ca^{2+}}$ presente.

$\text{moles }\ce{Ca^{2+}} = 1 \rm{L} * 2.0 \times 10^{-5}\frac{moles}{L} = 2.0 \times 10^{-5}\text{ moles}$

Ahora, si añadimos 946 ml de NaF 0,1 M, los moles de $\ce{F^-}$ en la solución es de 0,0946 moles que es mucho más que el calcio. Así que podemos suponer que el precipitado $\ce{CaF2}$ tiene un efecto insignificante en el $[\ce{F^-}]$ y calcular la concentración final de $[\ce{F^-}]$ como:

$\ce{[F^-]}_{\text{final}} = \dfrac{0.0946}{1.946} = 0.0486 \text{M}$

Ahora desde el $\rm{K}_{\text{sp}}$ tenemos

$\ce{[Ca^{2+}]}_{\text{final}} = \dfrac{\rm{K}_{\text{sp}}} {[\ce{F^-}]^2}= \dfrac{1.7 \times 10^{-10}}{0.0486^2} = 7.20 \times 10^{-8}$

$\text{moles }\ce{Ca^{2+}} \text{ final}= (7.20 \times 10^{-8})(1.946) = 1.40 \times 10^{-7}$

Los moles iniciales de $\ce{Ca^{2+}}$ es $2.0 \times 10^{-5}$ que es +/- $0.05 \times 10^{-5}$ . Por lo tanto, para mí la solución es un "número mágico" y no hay manera de llegar desde el enunciado del problema a ese valor. En otras palabras, ¿por qué no $2.00 \times 10^{-7}$ o $3.00 \times 10^{-8}$ para la final $\ce{Ca^{2+}}$ ¿¡Concentración!?

Por lo tanto, tienes que asumir que vas a precipitar alguna fracción de la $\ce{Ca^{2+}}$ . Entonces, ¿se va a precipitar el 99%, el 99,9%, el 99,95% o qué? No hay nada en el enunciado del problema que permita fijar un valor.

Sólo por curiosidad el % $\ce{Ca^{2+}}$ recuperado es:

% $\ce{Ca^{2+}}$ recuperado = $(1-\dfrac{1.40 \times 10^{-7}}{2\times 10^{-5}}) \times 100\% = 99.3 \%$


Obsérvese que también podemos suponer que la solución original está saturada respecto a $\ce{CaF2}$ . Como se muestra en el post de OP, esto conduce a una concentración de $2.91 \times 10^{-3} \rm{M}$ para $\ce{F^-}$ y dado el volumen de 1L, $2.91 \times 10^{-3} \rm{moles}$ de $\ce{F^-}$ . Sumando esto al número de moles de los 946 ml de $\ce{F^-}$ da un valor ligeramente diferente para los moles totales de $\ce{F^-}$ :

total de moles de $\ce{F^-}$ = $0.0946 + 0.00291 = 0.0975$

$\ce{[F^-]}_{\text{final}} = \dfrac{0.0975}{1.946} = 0.0501 \text{M}$

Así que el valor mágico para la solución del libro de texto es asumir que: $\ce{[F^-]}_{\text{final}}= 0.0500$

$\ce{[Ca^{2+}]}_{\text{final}} = \dfrac{\rm{K}_{\text{sp}}} {[\ce{F^-}]^2}= \dfrac{1.7 \times 10^{-10}}{0.0501^2} = 6.77 \times 10^{-8}$

$\text{moles }\ce{Ca^{2+}} \text{ final}= (6.77 \times 10^{-8})(1.946) = 1.32 \times 10^{-7}$

% $\ce{Ca^{2+}}$ recuperado = $(1-\dfrac{1.32 \times 10^{-7}}{2\times 10^{-5}}) \times 100\% = 99.34 \%$

Así que obtenemos un valor ligeramente diferente, pero sigue pareciendo un número mágico de algún tipo.


Ahora bien, si yo escribiera el problema habría dicho:

Se le da $1.00$ Litro de solución que está saturada de $\ce{CaF_2}$ y tiene un $\ce{Ca^{2+}}$ concentración de $2.00 \times 10^{-5}$ M. Cuántos mililitros de $0.100$ M $\ce{NaF}$ necesitaría recuperar el 99% de la $\ce{Ca^{2+}}$ como un precipitado de $\ce{CaF_2}$ ? El producto de solubilidad de $\ce{CaF_2}$ es $1.7\times10^{-10}$ .


Curioso he jugado con esto un poco más usando la suposición de la $\ce{F^-}$ solución inicial saturada. Obviamente, si se añaden grandes cantidades de $\ce{F^-}$ solución entonces cualquier $\ce{CaF_2}$ que se formó se disolvería de nuevo. Así que hay una cierta cantidad de $\ce{F^-}$ solución que precipita la máxima cantidad de $\ce{CaF_2}$ .

El máximo de $\ce{Ca^{2+}}$ recuperación = 99,44% con 1913 ml de $\ce{F^-}$ solución. A +/- 0,01% cualquier volumen entre unos 1400 ml y 2500 ml daría efectivamente el mismo resultado.

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Stuart Malone Puntos 109

Creo que tu $2.91 \cdot 10^{-3}$ valor de la concentración de flúor no tiene sentido. Está proporcionando la concentración por la que la solución se satura inmediatamente. En cambio, creo que sólo quieres el doble de $2.0\cdot 10^{-5}$ por razones estequiométricas, ya que tanto el fluoruro como el calcio provienen presumiblemente de la disolución del fluoruro de calcio.

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