Buscando una cita original de Hilbert

Question

¿Los axiomas de los campos numéricos completos ordenados provienen de los axiomas de geometría de Hilbert? "The Foundations of Geometry (1899)" o Hilbert publicó otros axiomas que evolucionaron hasta los axiomas de campo? He leído esto:

Hilbert había adoptado un enfoque totalmente diferente para definir lo real números reales en 1900. Definió los números reales como un sistema con dieciocho axiomas. Dieciséis de estos axiomas definen lo que hoy llamamos un campo ordenado, mientras que los otros dos eran el axioma de Arquímedes y el axioma de completitud.

El año parece no coincidir 1899 frente a 1900, y había 21 axiomas de geometría frente a los 18 citados en el enlace. Si hubo un artículo separado en 1900 definiendo los reales, ¿alguien tiene la cita original? No la encuentro, gracias.

Answer 1

Ver Fundaciones (1899) §13. SISTEMAS NUMÉRICOS COMPLEJOS (página 23).

Hilbert enumera 12 propiedades de conexión : $+, \cdot, 0, 1$ , seguido de 4 propiedades relativas a pedir : $<$ y Axioma de Arquímedes .

Hasta ahora, 17 axiomas.

Luego desarrolla el llamado Álgebra de segmentos , basado en los axiomas de la geometría plana (§24-on) y utiliza este "modelo geométrico" para demostrar que:

se cumplen los teoremas 1-6 de la sección 13. Además, [...] ya hemos demostrado que las leyes 7-11 de funcionamiento, dadas en la sección 13, son todas válidas en esta álgebra de segmentos.

Por lo tanto, con la única excepción de la ley conmutativa de la multiplicación, todos los teoremas de conexión son válidos .

Entonces, en §28:

Sobre la base de los axiomas del grupo II, podemos demostrar fácilmente también que, en nuestra álgebra de segmentos, se cumplen las leyes 13-16 de funcionamiento dadas en la sección 13. En consecuencia, la totalidad de los diferentes segmentos forma un sistema numérico complejo para el que se cumplen las leyes 1-11, 13-16 de la sección 13; es decir, todas las leyes de operación habituales, excepto la ley conmutativa de la multiplicación y el teorema de Arquímedes.

Finalmente (§32), demuestra la ley conmutativa de la multiplicación.

El 18º axioma es el Axioma de integridad (integridad).