Encontrar los valores de $\tan^{-1} (2i)$ .

Question

Estoy tratando de encontrar todas las soluciones de $\tan^{-1} (2i)$ . No veo nada que haya hecho mal, mi respuesta no coincide con la del libro de texto. Esto es lo que tengo. (La convención en Brown y Churchill es usar $\log$ para un número complejo y $\ln$ para un número real). \begin{align*} \tan^{-1} (2i) & = \frac{i}{2} \log \frac{i + 2i}{i - 2i} \\ & = \frac{i}{2} \log \frac{3i}{-i} \\ & = \frac{i}{2} \log (-3) \\ & = \frac{i}{2} \left(\ln 3 + (2n + 1) \pi i \right) \\ & = \frac{i}{2} \ln 3 - \frac{2n + 1}{2} \pi \\ & = \frac{i}{2} \ln 3 - \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi. \end{align*} Sin embargo, la respuesta en el libro de texto es: \begin{align*} \frac{i}{2} \ln 3 + \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi. \end{align*} Esto me lleva a pensar que he extraviado un cartel en alguna parte, pero no veo dónde. ¿Podría haber un error de imprenta en el libro?

Gracias de antemano.

Answer 1

Ambos son correctos.

Si $n_1$ es el número entero que se introduce en su solución, al conectar $-n_1-1$ en la solución del libro de texto da la misma respuesta. $$-\left(n_1+\frac{1}{2}\right) = k$$ $$(-n_1-1)+\frac{1}{2} = k$$

Answer 2

Desde $\tan(x)=2i$

Utilizando la fórmula de Euler $\tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i(e^{ix}+e^{-ix})}}$ la bruja debe ser igual a $2i$

Manipulando un poco obtenemos $3e^{ix}+e^{-ix}=0$ y si $e^{ix}=y$ , $3y+\frac{1}{y}=0$ así $e^{ix}=y=±i \frac{\sqrt 3}{3}$

Esto, por supuesto, significa que $\ln\left(±i \frac{\sqrt 3}{3}\right)=ix$

Answer 3

$-\left(n_1+\dfrac12\right)$ será $=n_2+\dfrac12$

$$\iff n_2=-n_1-1$$

Como $n_1$ puede ser cualquier número entero, por lo que será $n_2$ y a la inversa.