Cómo integrar $e^{t \ln q} p e^{-t \ln q} dt$ para el cuaternión $q$ y $p$ ?

Question

Tratando de resolver un problema de navegación inercial en términos de cuaterniones, terminé con la siguiente integral indefinida $$I = \int e^{t \ln q} \, p \, e^{-t \ln q} dt,$$ donde $q \in \mathbb H$ es un cuaternión unitario, $p \in \mathbb H$ es un cuaternión imaginario puro, y ambos $q$ y $p$ son constantes con respecto a la variable de integración $t \in \mathbb R$ .

Suponiendo que $q \neq 1$ , integré por partes: $$I = \int \underbrace{\mathstrut{}e^{t \ln q} p}_u \, \underbrace{\mathstrut{}e^{-t \ln q}}_{v'} \, dt = e^{t \ln q} p e^{-t \ln q} (-\ln q)^{-1} - \int e^{t \ln q} (\ln q) \, p e^{-t\ln q} (-\ln q)^{-1} \, dt, \\ I = e^{t \ln q} p \, e^{-t \ln q} (-\ln q)^{-1} + (\ln q) \, I \, (\ln q)^{-1},$$ y obtuve la ecuación $$(\ln q) \, I - I \, (\ln q) = e^{t \ln q} \, p \, e^{-t \ln q}.$$

Desde esta pregunta Me enteré de que la solución general para el $ax + xb = c$ la ecuación es $$x= \left( |b|^2 + 2b_0a + a^2 \right)^{-1} \left( ac +c b^* \right),$$ pero no funcionó en mi caso debido a la inversión de cuaterniones cero. También intenté expandir esta ecuación en componentes de cuaterniones pero llegué a un sistema de ecuaciones lineales con una matriz singular. Esto me parece bastante extraño, ya que estoy bastante seguro de que esta integral debería existir.

Por favor, alguien podría indicarme un error en mis cálculos y mostrar cómo calcular correctamente esta antiderivada? ¿Podría haber una solución bien conocida para el problema?

Answer 1

Nótese que la conjugación preserva los vectores, por lo que el integrando y por tanto $\mathbf{I}$ son puramente imaginarios.

Para los cuaterniones puros $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ ,

$$\mathbf{ab}=-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}.$$

Por lo tanto, escribir $``\ln q "=\mathbf{v}$ tenemos

$$(\ln q)\mathbf{I}-\mathbf{I}(\ln q)=2\mathbf{v}\times \mathbf{I}=\exp(t\mathbf{v})\mathbf{p}\exp(-t\mathbf{v}).$$

Tenga en cuenta que $\mathbf{v}\times\mathbf{I}$ borra el $\mathbf{v}$ -componente de $\mathbf{I}$ por lo que esta ecuación no "ve" esta componente. Sin embargo, esto no es un problema: conjugando por $\exp(t\mathbf{v})$ fija el $\mathbf{v}$ -componente de $\mathbf{p}$ Llámalo $\mathbf{p}_{\|}$ dentro del integrando para $\mathbf{I}$ por lo que podemos concluir que el $\mathbf{v}$ -componente para $\mathbf{I}$ debe ser $\mathbf{I}_{\|}=t\mathbf{p}_{\|}$ .

Aplicando $\mathbf{v}\times$ à $2\mathbf{v}\times\mathbf{I}_{\perp}=\exp(t\mathbf{v})\mathbf{p}\exp(-t\mathbf{v})$ (con $v=\|\mathbf{v}\|$ ) da como resultado

$$-2v^2\mathbf{I}_{\perp}=\mathbf{v}\times\big(e^{t\mathbf{v}}\mathbf{p}e^{-t\mathbf{v}}\big)$$

de lo que podemos concluir

$$\mathbf{I}=t\big(\mathbf{p}\cdot\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\big)\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}+\frac{1}{2}\big(e^{t\mathbf{v}}\mathbf{p}e^{-t\mathbf{v}}\big)\times\frac{\mathbf{v}}{\,\,\|\mathbf{v}\|^2}+\mathbf{C}.$$

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Otra ruta es expandir los exponenciales $\exp(t\mathbf{v})$ utilizando la fórmula de Euler para poder multiplicar e integrar directamente. Esto funciona especialmente bien si, fijando $\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$ usted escribe $\mathbf{p}$ con respecto a una base ortonormal orientada $\{\mathbf{u},\hat{\mathbf{v}},\mathbf{w}\}$ .