Express α, β, γ, en términos de a, b, c
De acuerdo a la Enciclopedia de Triángulo Centros, el ortocentro $X(4)$ ha baricéntrico coordenadas $[\tan A:\tan B:\tan C]$. Desde el coseno de la ley ha $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ y de la misma manera para los otros ángulos. Así que usted consigue
\begin{align*}
\tan C&=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sqrt{1-\cos C^2}}{\cos C}
=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{a^2+b^2-c^2}
\\&=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{a^2+b^2-c^2}
\\&=\frac{4V}{a^2+b^2-c^2}
\end{align*}
donde $V$ denota el área del triángulo, como se obtiene de la fórmula de Herón. Por la cancelación de la $4V$ plazo y multiplicando con todos los denominadores (que está permitido para homogénea coordenadas), se podría escribir la baricéntrico coordenadas de $X(4)$ también como
$$\begin{bmatrix}
(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\\
(b^2-c^2+a^2)(b^2+c^2-a^2)\\
(c^2-a^2+b^2)(c^2+a^2-b^2)
\end{bmatrix}$$
Usted obtener la footpoints de las alturas mediante el establecimiento de una de estas coordenadas a cero. Así, por ejemplo, $D$ ha baricéntrico coordenadas
$$\begin{bmatrix}
0\\
(b^2-c^2+a^2)(b^2+c^2-a^2)\\
(c^2-a^2+b^2)(c^2+a^2-b^2)
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
0\\
b^2-c^2+a^2\\
c^2+a^2-b^2
\end{bmatrix}$$
lo que significa que usted puede escribir sus coordenadas Euclidianas como
\begin{align*}
D&=\frac{b^2-c^2+a^2}{(b^2-c^2+a^2)+(c^2+a^2-b^2)}B
+\frac{c^2+a^2-b^2}{(b^2-c^2+a^2)+(c^2+a^2-b^2)}C
\\&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a^2}B + \frac{a^2-b^2+c^2}{2a^2}C
\\&=B + \frac{a^2-b^2+c^2}{2a^2}(C-B)
\\&=B + \left(\frac12 + \frac{-b^2+c^2}{2a^2}\right)(C-B)
\\&=G + \frac{-b^2+c^2}{2a^2}(C-B)
\end{align*}
La distancia entre la $D$ $G$ es
$$\alpha=\lVert D-G\rVert
= \left\lvert\frac{-b^2+c^2}{2a^2}\right\rvert\cdot\lVert C-B\rVert
= \frac{\lvert b^2-c^2\rvert}{2a}\\
2a\alpha=\lvert b^2-c^2\rvert$$
La orientación y el orden
Hasta aquí, la de arriba es una alternativa a la más corta de la deducción timon92 publicado en su respuesta. La discusión que sigue a continuación se aplica sin importar cómo se obtiene la fórmula para $2a\alpha$.
Usando esta fórmula, la ecuación del teorema (multiplicado por $2$ a simplificar las cosas) sería
$$\lvert b^2-c^2\rvert + \lvert c^2-a^2\rvert = \lvert a^2-b^2\rvert$$
Este no es siempre el caso. Pero si usted utiliza firmado distancias, por ejemplo, siempre se mide en sentido antihorario, se pueden omitir los valores absolutos. A continuación, escribe la fórmula como "la suma es igual a cero" como columbus8myhw sugiere en su comentario, y obtener
$$(b^2-c^2) + (c^2-a^2) + (a^2-b^2) = 0$$
que es obviamente cierto.
Si prefieres unsigned distancias, cuando se hace la ecuación con los mantenga? Se tiene si y sólo si la diferencia dentro de la función valor absoluto se ha signo igual para ambos términos en el lado izquierdo de la ecuación, pero de signo opuesto, a la derecha. Así que tienes dos casos a considerar:
\begin{gather*}
b^2-c^2\ge0,\quad c^2-a^2\ge0,\quad a^2-b^2\le0
\quad\implies\quad b\ge c\ge a \\
b^2-c^2\le0,\quad c^2-a^2\le0,\quad a^2-b^2\ge0
\quad\implies\quad a\ge c\ge b
\end{reunir*}
Que es lo que la "parte media" g.kov citado en su comentario se refiere a: la $c$ en el lado derecho de la ecuación debe ser el lado de mediana longitud.
