Convergencia de la serie añadiendo paréntesis

Question

Dada una serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

Si sabemos que insertando paréntesis a la suma, mientras que en cada par de paréntesis todos los elementos son del mismo signo obtenemos una serie convergente, entonces la serie original también es convergente.

Mi profesor demostró este teorema de una manera muy compleja que no pude seguir, ¿alguien sabe dónde puedo encontrar una demostración en línea?

por supuesto estaré encantado si alguien quiere probarlo aquí pero creo que es una prueba bastante larga.

Answer 1

Dejemos que $s_n=\sum_{k=1}^na_n$ y que $S_n$ sea el $n$ th suma parcial de la serie que se obtiene después de sumar los paréntesis. Supongamos que los cuatro primeros $a_k$ son positivos, que los cinco siguientes son negativos, y luego hay algunos términos más positivos. Entonces $S_1=s_4$ . Y, después de eso, $S_2=s_9$ . Además, $s_1\leqslant s_2\leqslant s_3\leqslant s_4=S_1$ . Y luego $s_4\geqslant s_5\geqslant s_6\geqslant s_7\geqslant s_8\geqslant s_9=S_2$ . Y así sucesivamente. Cada $s_k$ está entre un $S_l$ y $S_{l+1}$ . Por lo tanto, ya que $(S_n)_{n\in\Bbb N}$ converge, también lo hace $(s_n)_{n\in\Bbb N}$ .