¿Hay alguna otra solución para la ODE?

Question

Estoy tratando de encontrar una solución analítica para la siguiente EDO:

$\phi^{2}\phi^{\prime\prime\prime}+3\,\phi\phi^{\prime}\phi^{\prime\prime}-4\,\phi^{2}\phi^{\prime}=0,\;\phi=\phi(x)$

Una posibilidad que he probado es poner $\phi={\rm e}^{ax}$ , lo que dio lugar a una solución exacta como $\phi=\,{\rm e}^{\pm x}$ .

¿Hay alguna otra solución posible para esta EDO?

Answer 1

La ecuación puede escribirse como $$\phi\bigg((\phi\phi')''-4\phi\phi'\bigg)=0.$$ Así que dejamos que $u=\phi\phi'$ para conseguir $u''-4u=0$ . Resolviendo esto obtenemos $$u=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}=\phi\phi'=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\phi^2\Longrightarrow \phi^2=c_1e^{2x}-c_2e^{-2x}+c_3.$$