¿Qué significa intuitivamente que una métrica y una conexión sean compatibles?

Question

En la relatividad general, el tensor métrico que satisface las ecuaciones de Einstein induce la conexión Levi-Civita de esa métrica.

Se dice que esta conexión es de alguna manera "compatible" con la métrica.

Técnicamente me han dicho que esto significa que las líneas rectas (según la conexión) coinciden con las geodésicas (según la métrica). Sin embargo, esto parece una suposición arbitrariamente restrictiva desde el punto de vista matemático. ¿No debería ser posible que un único colector métrico específico con conexión tuviera líneas rectas que no fueran necesariamente geodésicas? ¿Por qué no?

Así que mi pregunta principal es: ¿qué significa realmente esta noción de "compatibilidad" de la métrica y la conexión de forma intuitiva? ¿Significa que no puede existir una variedad métrica con conexión cuya métrica y conexión sean incompatibles? (Es decir, ¿es una condición necesaria?). ¿Por qué la enoción intuitiva de "compatibilidad" es captada formalmente por el criterio "líneas rectas = geodésicas"?

Answer 1

Podemos utilizar una métrica pseudo-riemanniana $g$ para identificar formas únicas y campos vectoriales, subiendo y bajando los índices. Por ejemplo, si $\omega$ el campo vectorial $\omega^\sharp$ es el único que satisface $\omega(Y) = g(\omega^\sharp,Y)$ para todos $Y$ y si $X$ es un campo vectorial, tenemos una forma única $X_\flat$ definido por $X_\flat(Y) = g(X,Y)$ para todos $Y$ . La no-degeneración de la métrica garantiza que $\sharp$ y $\flat$ son isomorfismos.

Toda conexión induce derivadas covariantes totales, por lo que tiene sentido mirar $\nabla_V\omega$ y $\nabla_VX$ para un campo vectorial dado $V$ .

La condición de que la conexión sea compatible con la métrica o, en otras palabras, que la métrica sea un tensor paralelo ( $\nabla g = 0$ ) nos dicen que $$\left(\nabla_V\omega\right)^\sharp = \nabla_V \omega^\sharp \quad\mbox{and}\quad \left(\nabla_VX\right)_\flat = \nabla_VX_\flat. $$ Lo que significa que no sólo $\nabla$ se conmueve con las contracciones, $\nabla$ también conmutará con las contracciones métricas.

A priori esto no tiene ninguna relación con las geodésicas, ya que se puede definir lo que es una geodésica con respecto a una conexión arbitraria (no necesariamente la conexión Levi-Civita), y no se necesita una métrica para definir una conexión. Del mismo modo, se puede definir una métrica en una variedad que no tiene conexión. La motivación de la conexión Levi-Civita es tener una conexión suficientemente buena que relacione estos dos conceptos.

Answer 2

Aquí está la razón del físico para elegir la conexión Levi-Civita.

En la relatividad general, las partículas que caen libremente viajan a lo largo de geodésicas. Un físico consideraría una geodésica como una trayectoria $x^\mu(t)$ minimizar el tiempo propio, es decir, minimizar la integral $$\Delta \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{d x^\mu}{d t} \frac{dx^\nu}{d t}} dt$$

Utilizando el cálculo de variaciones, puedes demostrar que este criterio es equivalente a la ecuación del movimiento, $$ \frac{D^2 x^\mu}{dt^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\rho} \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt} = 0, $$ donde $\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}$ es la conexión Levi-Civita.

Edición: Aunque la conexión Levi-Civita funciona aquí, levap señala que no es la única conexión con esta propiedad.

Aquí hay otro comentario que aborda directamente el hecho de que la conexión sea compatible con la métrica: En la relatividad general, es importante que $dx^\mu / d \tau$ tiene una longitud $1$ en todo momento, es decir $g_{\mu \nu} dx^\mu / d\tau dx^\nu / d\tau = 1$ y, en particular, es constante. El hecho de que la conexión sea compatible con la métrica implica que, para las geodésicas, $g_{\mu \nu} dx^\mu / d\tau dx^\nu / d\tau$ es constante en el tiempo.