Una de las aplicaciones más importantes de " coset ", creo que es para demostrar la Teorema de Lagrange , que no fue enunciado originalmente en los términos de la teoría de grupos. En algunos libros de texto que he leído sobre álgebra abstracta, no he encontrado ninguna historia sobre el "coset".
Aquí están mis preguntas :
¿De dónde procede el concepto "coset"? ¿Y para qué se utilizaba originalmente?
La respuesta es relativamente sencilla. Parece ser que G.A. Miller fue quien originó el uso del término en sus primeras publicaciones sobre teoría de grupos. Significa literalmente: "co-set". El prefijo co- proviene del latín "com-" que significa (entre otras cosas) "junto con" (como ejemplo, el derivado español "con" significa simplemente "con"). Un "co-set" de un subgrupo H de un grupo G, es un subconjunto de G que "ocurre con" H, y que comparte la propiedad más importante de H como un conjunto que es su cardinalidad. Es perfectamente natural pensar en los cosets gH de un subgrupo H como "conjuntos hermanos" del subgrupo H, cada uno formado por la multiplicación de H por algún elemento g del grupo padre G. Este significado de co- es el mismo que usamos en palabras como copiloto, o compañero de trabajo.
Creo que es dudoso que "co-" fuera una abreviatura de "complementario" o "común", ya que la afición moderna por la abreviatura no era tan común a principios del siglo XX.
En cualquier caso, en Teoría y aplicaciones de los grupos finitos (1916), Miller indica que él originó el término, siendo el anterior Nebengruppen que creo que se traduce aproximadamente como "subgrupo". Tal vez un término mejor hubiera sido "traslación" de H, un término utilizado en el estudio de los grupos topológicos (especialmente los grupos de Lie). Parece que el uso original de la palabra "co-set" era su uso actual.
La utilidad del concepto de cosets va mucho más allá del Teorema de Lagrange. Por ejemplo (bastante simple), en los números enteros, el coset $1+2\mathbb{Z}$ es el conjunto de todos los enteros Impares, que suele ser muy útil al ser considerado como "una sola entidad".
Tal vez alguien que sea hablante nativo de alemán dé una mejor explicación, pero creo que una traducción razonable de Nebengruppe podría ser algo así como grupo cercano, grupo de vecinos, ya que la preposición neben significa cerca, junto a. Basado en esto artículo de la Wikipedia en alemán, parece que el término Nebenklassen se utiliza hoy en día.
En holandés se utiliza el mismo término: nevenklasse . Tal vez se podría traducir como clase/grupo vecino ou clase/grupo adyacente . Personalmente prefiero la traslación izquierda/derecha en lugar del coset izquierda/derecha, especialmente para grupos topológicos, encuentro este término más descriptivo: $gH$ es lo que se obtiene cuando se traduce $H$ a través de $g$ .
Ver Palabra matemática http://jeff560.tripod.com/mathword.html para el primer uso de esto.
...donde dice "COSET fue utilizado en 1910 por G. A. Miller en Quarterly Journal of Mathematics".
El primer uso no nos dice directamente de dónde viene el nombre en el sentido de la etimología, que es lo que creo que se pedía. Mi adivinar es que coset podría ser una contracción de "conjunto complementario", pero no tengo ninguna prueba real de ello.
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.. y cómo se llaman en otros idiomas ...