¿Hay alguna alternativa a Wronskian?

Question

Calcular un Wronskian es un proceso muy doloroso, especialmente para las ecuaciones diferenciales de orden superior. En realidad, estoy tratando de resolver una Ecuación diferencial lineal no homogénea de 4º orden . Considere la ecuación dada a continuación, por ejemplo, $$ y'''' - u^4y = e^{ux}, \quad \text{where $ u > 0 $ is a constant.} $$

Tengo la solución general,

$$ y = C_1.e^{ux} + C_2.e^{-ux} + C_3.cos(ux) + C_4.sin(ux)$$

a la ecuación homogénea,

$$ y'''' - u^4y = 0, \quad \text{where $ u > 0 $ is a constant.} $$

Como podemos ver, tenemos cuatro funciones, a saber $f1...f4$ , para calcular el Wronskian. Aquí terminé resolviendo un $4X4$ determinante.

¿Hay alguna alternativa?

Note : Lo resolví usando coeficiente no determinado , $y_p = x.p.e^{ux}$ . Aun así, sus respuestas fueron útiles. Gracias.

Answer 1

Es fácil encontrar una solución particular para $y^{(4)}-u^4y=e^{ux}$ para que puedas centrarte en la ecuación lineal $y^{(4)}-u^4y=0$ .

Si $X=(y''',y'',y',y)$ entonces $X'=AX$ con $A=\left( \begin{array}{cccc} 0&0&0&u^4 \\ 1 & 0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \end{array} \right)$ . Sólo hay que calcular $\exp(A)$ (Obsérvese que $A^4= u^4 \operatorname{Id}$ ).

Answer 2

Hay muchas formas de abordarlo.

Por ejemplo, para el caso homogéneo, podríamos haber escrito la ecuación característica como

$$m^4 -u^4 = 0$$

Esto nos lleva a las cuatro raíces $\pm u$ y $\pm iu$ .

A partir de ese conocimiento, podemos escribir la solución como

$$y_H = y = C_1.e^{ux} + C_2.e^{-ux} + C_3.\cos ux + C_4.\sin ux$$

Ahora, sólo tenemos que ocuparnos de la solución particular, y vemos que una de las raíces coincide con la función particular (RHS), por lo que hay formas bastante sencillas de tratarla.

Otro enfoque es linealizar el sistema y escribirlo como $X' = AX$ como se mostró en otra respuesta.

Aquí encontrarás las mismas raíces del polinomio característico, podrás diagonalizar el sistema (si es diagonalizable) y escribir la solución exponencial para esa matriz.

También hay otras formas, pero vale la pena explorar estas dos.