Unicidad de los generadores del estabilizador de un estado $\left| \psi \right>$ ?

Question

Dejemos que $G_n$ sea el $n$ -grupo de Pauli de qubits y $S$ un subgrupo abeliano que no contiene el elemento ( $-I$ ). Sé que si $S$ tiene $n$ generadores entonces especifica un único estado $\left| \psi \right>$ que estabiliza. En contra de esto he visto que se dice que, por ejemplo. $\left| 0\right>$ tiene el generador estabilizador $Z$ y $\left| 0 0\right>$ los generadores del estabilizador $\Bbb{I}\otimes Z$ y $Z\otimes \Bbb{I}$ . Esto sugiere el siguiente teorema que no puedo encontrar explícitamente enunciado o demostrado:

Los estabilizadores del Estado $\left| \psi \right>$ (es decir, elementos de $G_n$ para lo cual $g\left| \psi \right>=\left| \psi \right>$ ) forman un subgrupo abeliano de $G_n$ que no contiene ( $-I$ ) y tiene $n$ generadores.

Asumo que el teorema es verdadero, de lo contrario la asociación de $\left| 0 0\right>$ con el subgrupo generado por $\Bbb{I}\otimes Z$ y $Z\otimes \Bbb{I}$ no sería único. ¿Estoy en lo cierto? ¿Y cómo se demuestra/refuta esto?

Answer 1

La proposición que hace, tal como está escrita, es falsa incluso para $n=1$ por el teorema que citas. En efecto, el grupo de Pauli en $n$ q-bits es un grupo finito, y por tanto tiene un número finito de subgrupos abelianos $H_i$ con $n$ generadores que no contienen $-I$ . Cada uno especifica un estado $| \psi_i \rangle$ . $\{ |\psi_i \rangle \}$ no pueden ser todos los estados porque este es un conjunto finito y hay infinitos estados. Para un ejemplo concreto con $n=1$ el estabilizador de $\frac1{\sqrt3} |0 \rangle + \sqrt{\frac23} |1\rangle$ es trivial.

Por otro lado, es cierto que el estabilizador de cualquier estado es un subgrupo abeliano de $G_n$ que no contiene $-I$ . Que no contiene $-I$ está claro ya que el estado estabilizado debe tener el valor propio $1$ y por definición todo vector es un vector propio de $-I$ con valor propio $-1$ . Que es abeliano no es mucho más complicado de demostrar: dados dos elementos cualesquiera $g,h \in G_n$ es fácil demostrar que $\frac1{2} [g,h] \in \{0\} \cup G_n$ utilizando el hecho de que cada par de elementos en cada grupo de Pauli de 1 partícula conmuta o anticonmuta. Si un elemento está estabilizado por ambos $g$ y $h$ es en $\ker \frac1{2} [g,h]$ pero todos los elementos de $G_n$ son no degenerados y por lo tanto $[g,h] = 0$ . Lo que falla es que el estabilizador del estado no es, en general, máximo entre tales subgrupos del grupo de Pauli; de hecho, el estabilizador para casi todos los estados (en el sentido teórico de la medida) es el grupo trivial.