Grupos finitos/infinitos

Question

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) Existen infinitos grupos finitos en los que cada elemento no identitario tiene orden $2$ .

b)Existe un grupo infinito en el que todo elemento no identitario tiene orden $2$ .

c)Existe un grupo infinito en el que hay elementos de orden $n$ para todos $n\in \Bbb N$ .

d)Existen infinitos grupos infinitos en los que cada elemento no identitario tiene orden finito.

Mi intento: La opción 2 parece correcta ya que tengo un ejemplo de tal grupo( El conjunto de potencia de los números naturales bajo la operación binaria de diferencia simétrica es uno de esos ejemplos) pero no soy capaz de concluir nada sobre las otras opciones.

Sobre la opción 1, parece que es cierto teniendo en cuenta $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$ pero todavía estoy confundido. Para las dos últimas opciones, no tengo ninguna idea concluyente que pueda aplicar aquí. Por favor, guíenme.

Answer 1

(a) Para $n\geq 1$ , $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ es un grupo finito cuyo elemento no trivial tiene orden $2$ . Así que hay infinitos grupos de este tipo.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ es el grupo deseado.

(c) Puede considerar el ejemplo $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ . Entonces, para cada $n\in \Bbb{N}$ , $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ es un elemento de orden $n$ en $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ .

(d) Para $n\geq 2$ , $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$ es un grupo infinito cuyos elementos no triviales tienen un orden finito. Así que hay infinitos grupos de este tipo.

Answer 2

Si te resulta más fácil conceptualizar, puedes tomar cada elemento como finito, aunque el grupo en su conjunto sea infinito.

Por ejemplo, para (2), podemos tomar cada elemento de $G$ sea una secuencia finita formada por $1$ y $-1$ y terminando en $-1$ (la identidad es la secuencia nula). Para encontrar $ab$ multiplicamos los valores de $a$ y $b$ por parejas, y luego terminar la secuencia en el último $-1$ . Si son de distinta longitud, añadimos $1$ a la más corta suficientes veces para que tengan la misma longitud, y luego multiplícala. $G$ es infinito porque aunque cada elemento individual tiene una longitud finita, hay un número infinito de esas longitudes finitas.

Una estrategia similar funciona para (3) y (4). Para (3), tomamos secuencias finitas en las que el $n$ es un elemento de $\mathbb Z_n$ a menos que la secuencia sea de longitud 1, el último valor no es $1$ . Para (4), simplemente tomamos variaciones sobre (3). Por ejemplo, podemos empezar la secuencia en $\mathbb Z_k$ . O tomar $k$ copias de (3), etc.