¿Qué significa el valor t (estadística de prueba)? ¿Cuál es la relación entre la distribución t del estudiante y el valor t?

Question

Estoy confundido con algunas preguntas:

¿Cuál es la relación entre la distribución T del estudiante y la estadística de la prueba? Esta pregunta se debe a que en la wikipedia se menciona el valor t por debajo de la distribución T de los estudiantes. http://en.wikipedia.org/wiki/Student 's_t-distribución#Cómo_surge_la_distribución_t

En segundo lugar, he leído la respuesta de Baltimark en ( https://stats.stackexchange.com/a/295/66990 ). Dijo que "el "valor t" es una "estadística de prueba" genérica, no un valor de una "distribución t"". ¿Esta afirmación es correcta? En mi opinión, la estadística de prueba es el lugar que tiene cierto grado de libertad y cierto percentil de la distribución T(por ejemplo la imagen 1 ) Si mi opinión es errónea, ¿podría alguien decirme qué es lo que está mal?

En tercer lugar, quiero saber de dónde sale la fórmula del valor t. ¿Por qué se define como (media de la muestra - media de la hipótesis nula)/(sqrt(varianza de la muestra/número de muestras))?

Muchas gracias. Sé que estas preguntas son demasiado básicas. Tal vez sea porque no he entendido algunas ideas fundamentales. ¿O podrías recomendarme algunos materiales o libros?

Gracias.

Answer 1

Q1

A $t$ El valor (o estadística) es el nombre dado a una estadística de prueba que tiene la forma de un cociente entre la desviación de una estimación de algún valor teórico y el error estándar (incertidumbre) de esa estimación.

Por ejemplo, un $t$ se utiliza habitualmente para probar la hipótesis nula de que un valor estimado para un coeficiente de regresión es igual a 0. Por lo tanto, el estadístico es

$$t = \frac{\hat{\beta} - 0}{\mathrm{se}_{\hat{\beta}}}$$

donde el $0$ es el valor nocional o esperado en esta prueba, y normalmente no se muestra.

Si $\hat{\beta}$ es una estimación por mínimos cuadrados ordinarios, entonces el distribución del muestreo de la estadística de prueba $t$ es el estudiante $t$ con grados de libertad $\mathrm{df} = n - p$ donde $n$ es el número de observaciones en el conjunto de datos/ajuste del modelo y $p$ es el número de parámetros ajustados en el modelo (incluido el término de intercepción/constante).

Otros métodos estadísticos pueden generar estadísticas de prueba que tienen la misma forma general y, por tanto, ser $t$ estadística, pero la distribución muestral de la estadística de la prueba no tiene por qué ser una $t$ distribución.

Q2

La respuesta de Baltimark fue en referencia al general $t$ estadística. Como estadística de prueba deseamos asignar alguna probabilidad de que podamos ver un valor tan extremo como el observado $t$ estadística. Para ello necesitamos conocer la distribución muestral de la estadística de la prueba o derivar la distribución de alguna manera (digamos remuestreo o bootstrapping).

Como se ha mencionado anteriormente, si el valor estimado para el que se $t$ se ha calculado a partir de un mínimo cuadrado ordinario, entonces la distribución muestral de $t$ resulta ser la de un estudiante $t$ distribución . En este caso concreto, tienes razón, puedes buscar la probabilidad de observar un $t$ estadística tan extrema como la observada de un $t$ distribución de $n - p$ grados de libertad.

Así que la respuesta de Baltimark es en referencia a un $t$ estadística en general mientras que usted se centra en una aplicación específica de un $t$ estadística, una para la cual la distribución de muestreo de la estadística resulta ser una $t$ distribución.

Tenga en cuenta que su cifra sólo es correcta para una prueba unilateral. En la prueba habitual de la hipótesis nula de que $\hat{\beta} = 0$ en una regresión OLS, para una prueba de nivel del 95%, las regiones de rechazo -la región sombreada en su figura- serían para el percentil 97,5 superior del $t_{n-p}$ con una región correspondiente en la cola inferior de la distribución para el percentil 2,5. En conjunto, el área de estas regiones sería del 5%. Esto se visualiza en la siguiente figura de la derecha

Para más información, ver este reciente Q&A del que tomé la cifra.