Wronskian de n funciones y la in/dependencia lineal

Question

El Wronskian de $n$ funciones $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ que son $\mathcal{C}^{n-1}$ en algún intervalo $I$ se define como el determinante de la matriz

\begin{pmatrix} y_1(x) & & y_n(x) \\ y_1'(x) & \ddots & y_n'(x) \\ \vdots & & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}

y se denota $W(y_1,\ldots,y_n)(x)$ .

Quiero demostrar que si $W(y_1,\ldots,y_n)(x)=0$ en $I$ pero $W(y_1,\ldots,y_{n-1})(x)\ne 0$ para todos $x I$ entonces las funciones $y_1,\ldots,y_n$ son linealmente dependientes en $I$ .

Quiero decir que si $y$ es una función arbitraria que es $\mathcal{C}^{n-1}$ y supongamos que $W(y_1,\ldots,y_{n-1},y) = 0$ entonces usando los cofactores en la última columna puedo ver que el coeficiente de $y^{(n-1)}(x)$ es distinto de cero ya que es $W(y_1,\ldots,y_{n-1})(x) 0$ por lo que se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden $(n-1)$ en $y$ Llámalo $(\star)$ (tiene un montón de determinantes como sus coeficientes por lo que no quiero escribirlo).

Ahora quiero decir que $y_1,\ldots,y_n$ resolver $(\star)$ . Puedo ver claramente que $y_n$ al menos lo resuelve ya que $W(y_1,\ldots,y_n)(x)=0$ y en el cálculo del determinante usando cofactores con la última columna veo $y_n$ satisface $(\star)$ con los mismos coeficientes. Sin embargo, no veo por qué $y_1,\ldots,y_{n-1}$ satisfacer $(\star)$ o si esto es cierto.

(La idea es que si puedo demostrar lo anterior, entonces la afirmación se deduce del hecho de que el espacio de todas las soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden $(n-1)$ es de hecho $(n-1)$ . )

Answer 1

Yendo en sentido contrario, desde la primera $n-1$ filas de la matriz y los determinantes dados, se encuentra que existen funciones factoriales $u_1(t),...,u_{n-1}(t)$ para que $$ y_n^{(k)}(t)=u_1(t)\,y_1^{(k)}(t)+...+u_{n-1}(t)\,y_{n-1}^{(k)}(t),\qquad k=0,1,...,n-2 $$ Ahora la pregunta sigue siendo qué defines como dependencia lineal de las funciones.