Es todo subconjunto abierto simplemente conectado de $\Bbb R^n$ ¿contraíble?

Question

Pregunta: Es todo subconjunto abierto simplemente conectado de $\Bbb R^n$ contratable ?

Sé que el resultado es cierto para $\Bbb R^2$ porque por el Teorema del mapa de Riemann todo subconjunto abierto propio simplemente conectado de $\Bbb C$ es biholomorfo al disco abierto, que es contractible.

¿Podemos generalizar a $\Bbb R^n$ ?

Answer 1

Eliminar cualquier punto de $\Bbb R^n$ , $n\geq 3$ . El subespacio resultante es abierto, y tiene el tipo de homotopía de la esfera, por lo que es simplemente conectado y no contraíble (básicamente es lo mismo que tomar una vecindad tubular de la esfera, mencionada por Najib Idrissi).