Cálculo del gradiente (distributivo) de una función singular

Question

Esta pregunta bien podría pertenecer al stackexchange de física, pero espero que publicarla aquí pueda darme una perspectiva más matemática.

Estoy tratando de encontrar la expresión para el campo eléctrico de un dipolo puntual $\vec{d}$ que he descubierto la expresión de su potencial para ser $\phi = \frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{4\pi|\vec{r}|^3}$ . Para encontrar el campo eléctrico necesito tomar su gradiente, a lo que obtengo: \begin{align} \vec{E} = -\nabla\phi = \frac{3(\vec{d}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{d}}{4\pi|\vec{r}|^3} \end{align}

Sin embargo, me han dicho que la expresión no es válida en el origen, y hay que añadir un término de corrección: \begin{align} \vec{E} = -\nabla\phi = \frac{3(\vec{d}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{d}}{4\pi|\vec{r}|^3}-\frac{4\pi}{3}\delta^3(\vec{r})\vec{d}, \end{align} donde $\delta^3(\vec{r})$ es la función dirac delta tridimensional. ¿Podría alguien explicar el razonamiento que hay detrás de esto? ¿Tiene esto algo que ver con asegurar que $\vec{E}$ actúa correctamente en algún espacio de funciones con soporte compacto?

Answer 1

Por lo que he deducido al consultar algunas fuentes, el delta de dirac en el origen proviene de un argumento ad-hoc más que de algo matemático (cf. también este preimpreso que revisa brevemente cómo se puede justificar el delta). Desde el punto de vista matemático, la cartografía en cuestión es $$ \phi_{\vec d}: \mathbb R^3\setminus\lbrace0\rbrace\to\mathbb R^3\quad\qquad \vec r\mapsto \frac{\langle\vec d,\vec r\rangle}{4\pi\|\vec r\|^3} $$ para algún arreglo $\vec d\in\mathbb R^3$ que es infinitamente diferenciable en el conjunto abierto $\mathbb R^3\setminus\lbrace0\rbrace$ pero puede no se prolongue de forma continua a $\mathbb R^3$ y mucho menos diferenciarse en el origen, a menos que estemos en el caso trivial $\vec d=0$ (que excluiremos explícitamente para lo que sigue).

A primera vista parece que $\lim_{\|\vec r\|\to 0}\phi_\vec d(\vec r)=\infty$ Así que esto es lo que definimos como $\phi_\vec d(0)$ para justificar de la misma manera "extraña" una "función" delta - esto sin embargo no es cierto (compruebe el ejemplo de abajo). Incluso el límite $\lim_{\vec r\to 0}|\phi_{\vec d}(\vec r)|$ normalmente no existe, ya que depende de la dirección en la que uno se acerca al origen.

Para ser más precisos, como ejemplo podemos elegir $\vec d=(1,0,-1)$ así que $$ \phi_{\vec d}(r_1,r_2,r_3)=\frac{r_1-r_3}{4\pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)^{3/2}}\,. $$ Elección de las secuencias reales nulas $\vec r_n=(\frac 1n,0,0)$ , $\vec s_n=(0,\frac 1n,0)$ y $\vec t_n=(0,0,\frac1n)$ para $n\in\mathbb N$ rinde $$ \lim_{n\to\infty} \phi_{\vec d}(\vec r_n)= +\infty\qquad \lim_{n\to\infty} \phi_{\vec d}(\vec s_n)=0 \qquad\lim_{n\to\infty} \phi_{\vec d}(\vec t_n)= -\infty $$ por lo que el camino por el que te acercas al origen sí importa para el límite (incluso para el límite del valor absoluto $|\phi_\vec d(\vec r)|$ ), lo que no ocurriría si el límite en cuestión existiera en el sentido habitual. Por supuesto, si no existe una extensión continua significativa de la cartografía hacia el origen, hablar de diferenciarla en el sentido habitual está fuera de lugar per se.