Proyección de curvas proyectivas

Question

Llevo un buen rato atascado en lo que probablemente sea un problema trivial. Dejemos que $X\subset\mathbb{P}^n$ sea una curva proyectiva suave, y sea $$\mathcal{I}=\{(p,q,r):p,q\in X,p\neq q,r\in\overline{pq}\}$$ (donde $\overline{pq}$ es la línea que une $p$ y $q$ ) y que $$\mathcal{J}=\{(p,r):p\in X,r\mbox{ lies on the tangent line to }X\mbox{ at }p\}.$$ Es fácil ver que $\mathcal{I}$ es un complejo de 3 maníferos y $\mathcal{J}$ es un complejo de 2 maníferos. Sea $\alpha:\mathcal{I}\to\mathbb{P}^n$ para que $(p,q,r)\mapsto r$ y que $\beta:\mathcal{J}\to\mathbb{P}^n$ para que $(p,r)\mapsto r$ .

¿Por qué si $n\geq 4$ entonces hay un punto en $\mathbb{P}^n$ que no está en la imagen de ninguna de las dos funciones? Puedo ver que la imagen de $\alpha$ tiene dimensión compleja a lo sumo 3 y la imagen de $\beta$ como máximo 2, pero no veo por qué sus imágenes no pueden cubrir todo $\mathbb{P}^n$ .

Como referencia, esto fue tomado de Algebraic Curves and Surfaces por Rick Miranda, página 101.

Gracias.

Answer 1

$\alpha(\mathcal I)$ es el variedad secante de $X$ . Creo que es suficiente con que entiendas este, el otro es similar. Por supuesto que el actual prueba que $\alpha(\mathcal I)\subsetneq \mathbb P^n$ es exactamente el recuento de dimensiones que mencionas. Así que supongo que buscas una intuición y/o una explicación heurística de lo que ocurre.

Sospecho que tu problema es realmente que no puedes ver en dimensión $4$ . No lo tomes como una crítica, no puedo véase en dimensión $4$ y quien diga que puede, no lo dice en serio.

$r\in\alpha(\mathcal I)$ significa que $r$ se encuentra en una línea secante de $X$ En otras palabras, hay una línea que pasa por $r$ que se cruza con $X$ en dos puntos, digamos $p,q\in X$ . Ahora vamos a arreglar $p$ por un momento y dar la vuelta a la observación: qué puntos en $\mathbb P^n$ estará en una línea secante que pasa por $p$ ? Bueno, los puntos de las mentiras secantes. Duh. Entonces, puedes mirar todas las líneas que pasan por $p$ y observar que los que están contenidos en $\alpha(\mathcal I)$ son los que conectan otros puntos de $X$ a $p$ . Llamemos a la unión de estas líneas $A_p$ es decir, que $\mathcal I_p=\{(a,b,c)\in\mathcal I|a=p\}$ y que $A_p=\alpha(\mathcal I_p)$

Tomemos un hiperplano (aleatorio) $H\simeq \mathbb P^{n-1}$ . Basta con demostrar que $H\not\subseteq \alpha(\mathcal I)$ . ¿Qué es? $H\cap\alpha(\mathcal I)$ ? En primer lugar $$\alpha(\mathcal I)=\bigcup_{p\in X} A_p.$$ En segundo lugar, $H\cap A_p$ es la proyección de $X$ a $H$ y por lo tanto es un algebraico curva. Como $p$ pasa por los puntos de $X$ obtenemos un $1$ -familia de curvas de parámetros, pero que no puede llenar un espacio de dimensión $n-1\geq 3$ .

Por supuesto, esta es la misma prueba que contar la dimensión de la variedad secante, pero tal vez algo que se puede imaginar mejor.