Definición de la norma de un operador lineal acotado.

Question

Tengo una pregunta algo básica pero confusa respecto a la definición de la norma para un operador lineal acotado.

Supongamos que $f$ es un operador lineal acotado, es decir, existe $M>0$ tal que $\|f(x)\| \leq M\|x\|$ . Definimos $\mathcal{M}=\{M\geq 0:\|f(x)\|\leq M\|x\|, \forall x\}$ $$\|f\|:=\inf\{M\geq 0:\|f(x)\|\leq M\|x\|, \forall x\}=\inf\{\mathcal{M}\}.$$

Ahora, la pregunta es: ¿cómo sabemos que $\|f\|\in \mathcal{M}$ es decir, que $\|f(x)\|\leq \|f\|\|x\|$ para todos $x$ ?

Puede parecer una pregunta tonta, pero me he dado cuenta de que muchos libros eluden los tecnicismos de esto, e incluso cuando no lo hacen, los argumentos no me parecen convincentes. El argumento que he visto muchas veces es el siguiente:

Desde $\|f\| =\inf\{\mathcal{M}\}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ , $$\|f\|+\frac1n \in \mathcal{M}.$$ De lo contrario, $\|f\|$ no sería el ínfimo. Por lo tanto, $$\|f(x)\| \leq \left( \|f\|+\frac1n \right)\|x\|,$$ para todos $x$ y para todos $n\in \mathbb{N}$ . Dejar $n\rightarrow \infty$ manteniendo todo lo demás fijo que obtenemos: $$\|f(x)\| \leq \|f\|\|x\|.$$ Cómo exactamente es $\|f(x)\| \leq \|f\|\|x\|$ una consecuencia de $\|f(x)\| \leq \left( \|f\|+\frac1n \right)\|x\|$ ? He intentado obtener una prueba por contradicción: sustituyamos $\frac1n$ por $\epsilon>0$ y supongamos que esto último es cierto pero la conclusión no lo es. Esto implicaría la existencia de $x_0$ tal que $$\|f(x_0)\| > \|f\|\|x_0\|$$ y al mismo tiempo tener $$\left( \|f\|+\epsilon \right)\|x_0\|\geq \|f(x_0)\|.$$ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $x_0\neq 0$ y juntando todo esto se obtiene: $$\|f\|+\epsilon> \|f\|,$$ que es no una contradicción.

En general, el hecho de que $\|f\|+\epsilon \in \mathcal{M}$ equivale a decir que $\|f\|$ es un punto límite (o de acumulación, según su definición) de $\mathcal{M}$ . Lo hace no se deduce que el punto límite debe pertenecer al conjunto en cuestión (eso sería decir $\mathcal{M}$ es cerrado (que es lo que estamos tratando de demostrar).

Gracias de antemano por cualquier idea al respecto.

Answer 1

Digamos que usted asumió la existencia de $x_0$ tal que $$ \Vert f(x_0) \Vert > \Vert f\Vert \Vert x_0\Vert. $$ Entonces sabes que existe un $\epsilon \in\mathbb{R}_{>0}$ con $$ \Vert f(x_0) \Vert > (\Vert f\Vert +\epsilon) \Vert x_0\Vert $$ porque la desigualdad se mantiene estrictamente (así que podemos hacer el lado derecho un poco más grande y la desigualdad se mantiene). Así es básicamente como has empezado.

Por definición de $\Vert f \Vert$ sabemos que para todos $n\in\mathbb{N}$ $$ \Vert f(x_0)\Vert \leq \left(\Vert f\Vert + \frac{1}{n}\right) \Vert x_0\Vert. $$ Ahora utilizamos que existe un $n\in\mathbb{N}$ con $\frac{1}{n} < \epsilon$ (esto es posible porque siempre existe $n\in\mathbb{N}$ con $n > \frac{1}{\epsilon}$ ). De ahí obtenemos $$ \Vert f(x_0)\Vert \leq \left(\Vert f\Vert + \frac{1}{n}\right) \Vert x_0\Vert < \left(\Vert f\Vert + \epsilon\right) \Vert x_0\Vert. $$ Pero ahora tenemos $$ (\Vert f\Vert +\epsilon) \Vert x_0\Vert < \Vert f(x_0) \Vert < \left(\Vert f\Vert + \epsilon\right) \Vert x_0\Vert, $$ que es una contradicción.