Tratando de resolver un Problema de Valor Límite donde $y'' = (x^2)y$ y las condiciones iniciales son $y(0)=0$ y $y(L)= 0$ . Tengo una solución general para ser $Y(b) = c_1 \cosh(xb) + c_2\sinh(xb)$ . Sé que $c_1=0$ ahora mi pregunta es cuando $\sinh(xb) = 0$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se trata de una bonita trampa clásica para los que se lanzan a resolver el problema antes de haber terminado de leer su formulación, por no hablar de intentar comprenderlo. ¡Esta ecuación no se puede resolver en funciones elementales! Incluso si se supiera qué hacer con las funciones cilíndricas parabólicas, escribir una solución general para la ecuación $\,y''=x^2y\,$ sería la forma más estúpida de abordar este problema bastante trivial. Deberías haber prestado atención al notable hecho de que la ecuación y las condiciones de contorno son homogéneas, lo que implica que $y=0$ resuelve el problema. ¿Existen otras soluciones? La respuesta es No siendo bastante sencillo de verificar. Basta con multiplicar la ecuación por $y$ y lo integramos en el intervalo $(0,L)$ . Entonces, integrando por partes, se obtiene encontrar $$ 0=-\int\limits_0^Ly''y\,dx+\int\limits_0^L x^2y^2\,dx=-y'y\Bigr|^L_0+\int\limits_0^L|y'|^2 dx +\int\limits_0^L x^2y^2\,dx=\int\limits_0^L\bigl(|y'|^2+x^2y^2\bigr)\,dx, $$ de lo que se desprende inmediatamente $\,y'(x)=y(x)=0\;\forall\, x\in [0,L]$ ya que por definición una solución debe ser o bien clásica $y\in C^2[0,L]$ o débilmente diferenciable $y\in H^2(0,L)$ .
