El valor máximo de $a$ tal que la matriz
$\begin{pmatrix} -3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & a & -2\end{pmatrix}$
tiene tres vectores propios reales linealmente independientes .
Por favor, dame una pista
Gracias
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDITAR: Se ha señalado en los comentarios, que mi primer intento era incorrecto, ya que la pregunta se refiere a real vectores propios. (Sólo he comprobado si hay vectores propios independientes, admitiendo la posibilidad de que sean complejos).
He intentado sugerir una solución alternativa. Espero que a alguien se le ocurra algo más sencillo. (O me he equivocado en alguna parte, o el cálculo que tenemos que hacer sería bastante complicado si queremos resolver la cuestión a mano).
Podemos empezar calculando el polinomio característico $\chi_A(x)$ ?
$\chi_A(x)=\begin{bmatrix} x+3 & 0 & 2 \\ -1 & x+1 & 0 \\ 0 & -a & x+2 \end{bmatrix} =x^3+6x^2+11x+6+2a=(x+1)(x+2)(x+3)+2a$
Podemos encontrar situaciones para las que este polinomio tiene raíces reales/raíces distintas utilizando el discriminante del polinomio cúbico.
En concreto, obtenemos que para $a=\frac1{\sqrt {27}}$ hay una raíz real múltiple. (Esta raíz se puede encontrar como la raíz de la derivada.) Para mayores $a$ hay dos raíces complejas y una raíz real. Para las raíces más pequeñas $a$ 's hay tres raíces reales distintas.
Para tres raíces reales distintas la situación es sencilla: Cómo demostrar que los vectores propios de diferentes valores propios son linealmente independientes
Para $a=\frac1{\sqrt {27}}$ no podemos decir sólo a partir de los valores propios si la matriz es diagonalizable o no. Así que ahora podemos intentar diagonalizar esta matriz para este valor particular de $a$ . (O por lo menos para encontrar la dimensión del eigespacio de la raíz múltiple).
WolframAlpha dice que la matriz no es diagonalizable. Lo que significa que la matriz dada tiene tres vectores propios reales linealmente independientes sólo para $a<\frac1{\sqrt {27}}$ .
