Resolver $2xy'(x-y^2)+y^3=0$

Question

Resolver $$2xy'(x-y^2)+y^3=0$$

No sé qué método debo utilizar para resolver la ecuación. No tiene la forma de una EDO homogénea. Puedo escribirla como $y^3\;dx+(2x^2-2xy^2)\;dy=0$ . Pero no es una EDO exacta y no veo la forma de expresar cada término por diferenciación e integrar ambos lados.

Answer 1

Como señalé en mi sugerencia anterior en los comentarios, sería útil tratar de resolver esto como si fuera una ecuación diferencial en $x = x(y)$ no $y = y(x)$ . Para ello, supongamos que la función es suave y podemos escribir \begin{align} y^3 x' + 2x(x-y^2) & = 0 \\ y^3 u' + 2y^2 u & = 2, \text{ via substitution } x = u^{-1} \\ u' + 2y^{-1} u & = 2 y^{-3} & \\ (y^2 u)' & = 2y^{-1} \\ y^2 u & = 2 \ln y + C \\ y^2 & = 2 x \ln y + C x. \end{align} Puedes comprobar que efectivamente se trata de una solución de la ecuación diferencial original.

Answer 2

Bueno, estamos tratando de resolver:

$$\text{n}x\text{y}'\left(x\right)\left(x-\text{y}\left(x\right)^2\right)+\text{y}\left(x\right)^3=0\tag1$$

Resolver para $\text{y}'\left(x\right)$ , da:

$$\text{y}'\left(x\right)=-\frac{\text{y}\left(x\right)^3}{\text{n}x\left(x-\text{y}\left(x\right)^2\right)}\tag2$$

Ahora, podemos escribir la ED en términos de $x$ , ya que $\frac{\text{dy}}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{dy}}=1$ , $\frac{\text{d}\text{y}\left(x\right)}{\text{d}x}=\frac{1}{\frac{\text{dx}\left(y\right)}{\text{d}y}}$ . Así que tenemos:

$$\frac{1}{\frac{\text{dx}\left(y\right)}{\text{d}y}}=-\frac{y^3}{\text{nx}\left(y\right)\left(\text{x}\left(y\right)-y^2\right)}\tag3$$

Elevar ambos lados al poder $-1$ , ampliar, restar $\frac{\text{nx}\left(y\right)}{y}$ de ambos lados y dividir ambos lados por $-\text{x}\left(y\right)^2$ :

$$\frac{\text{n}}{y\text{x}\left(y\right)}-\frac{\frac{\text{dx}\left(y\right)}{\text{d}y}}{\text{x}\left(y\right)^2}=\frac{\text{n}}{y^3}\tag4$$

Dejemos que $\mu\left(y\right):=\frac{1}{\text{x}\left(y\right)}$ . Esto da $\frac{\text{d}\mu\left(y\right)}{\text{d}y}=-\frac{\frac{\text{dx}\left(y\right)}{\text{d}y}}{\text{x}\left(y\right)^2}$ Así que..:

$$\frac{\text{d}\mu\left(y\right)}{\text{d}y}+\frac{\text{n}\mu\left(y\right)}{y}=\frac{\text{n}}{y^3}\tag5$$

Déjalo:

$$\xi\left(y\right):=\exp\left\{\int\frac{\text{n}}{y}\space\text{d}y\right\}=y^\text{n}\tag6$$

Multiplica ambos lados por $\xi\left(y\right)$ , sustituto $\text{n}y^{\text{n}-1}=\frac{\text{d}}{\text{d}y}\left(y^\text{n}\right)$ y aplicar la regla del producto de reserva. Esto nos lleva a:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}y}\left(y^\text{n}\mu\left(y\right)\right)=\text{n}y^{\text{n}-3}\tag7$$

Integrar ambos lados con respecto a $y$ y dividir ambos lados por $\xi\left(y\right)$ :

$$\mu\left(y\right)=\frac{\text{n}}{y^2\left(\text{n}-2\right)}+\frac{\text{C}}{y^\text{n}}\tag8$$

Sovling para $\text{x}\left(y\right)$ , da:

$$\frac{1}{\text{x}\left(y\right)}=\frac{\text{n}}{y^2\left(\text{n}-2\right)}+\frac{\text{C}}{y^\text{n}}\tag9$$

Así que:

$$\frac{1}{x}=\frac{\text{n}}{\text{y}\left(x\right)^2\left(\text{n}-2\right)}+\frac{\text{C}}{\text{y}\left(x\right)^\text{n}}\tag{10}$$