¿Constituyen los vectores propios del operador hermitiano una base

Question

Los vectores propios de un operador hermitiano correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Incluso para un valor propio degenerado podemos producir vectores propios ortogonales en ese subespacio propio. ¿Este sistema de vectores ortogonales abarca necesariamente todo el espacio vectorial, es decir, constituyen una base?

Answer 1

Creo que sí. Digamos que para $N$ espacio vectorial dimensional y el operador $\hat{A}$ tenemos $N-2$ valores propios distintos y un valor propio que se repite dos veces $\lambda$ . El $N-2$ Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos serán ortogonales y, por tanto, linealmente independientes. Para el caso degenerado de grado $2$ podemos obtener dos vectores ortogonales, cada uno de los cuales será también ortogonal a cada uno de $N-2$ vectores propios . Por lo tanto, tenemos un total de $(N-2)+2=N$ vectores linealmente independientes en un $N$ espacio vectorial dimensional, es decir, se forma una base.

Answer 2

Sí. No sólo los vectores propios de un operador hermitiano constituyen una base, sino que es una base completa, es decir, y la función en el espacio donde actúa el operador, puede expandirse en términos de las funciones propias de este operador. Este último hecho se enuncia a veces de forma diferente, como el resolución de la identidad , ver aquí .

Nótese que lo anterior es cierto incluso en caso de espectro degenerado, siempre que se ortogonalicen adecuadamente las funciones propias correspondientes a los valores propios degenerados (lo que siempre puede hacerse).