Es una matriz con columnas normalizadas y determinante $1$ ¿una matriz ortogonal?

Question

Esta es probablemente una pregunta elemental.

Supongamos que los vectores columna de una matriz (en $\mathbb R^{d\times d}$ ) son todos vectores unitarios. Eso implica que su determinante está limitado en valor absoluto por uno.

Si el determinante de esa matriz es uno, ¿es la matriz ortogonal (y por tanto todos los vectores columna son de hecho ortogonales entre sí)?

Para cruzar t's y puntos i's : la norma es la norma euclidiana, y el producto escalar es el producto escalar habitual en $\mathbb R^d$ .

Debido a la interpretación del volumen del determinante, la respuesta debería ser afirmativa. Pero, ¿qué es una prueba sencilla?

Answer 1

Sí, se deduce de la llamada desigualdad de Hadamard. Para simplificar, el determinante es igual al volumen del cubo abarcado por las columnas. Como en tu caso las columnas están normalizadas y el volumen es 1 deben ser ortogonales.