¿Cómo puedo demostrar que $\mathbb{Z}/p^q$ , donde $p$ es primo, es un UFD?
Bueno, sé que si $q=1$ es porque entonces es un campo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jeff Leonard
Puntos
258
El anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un dominio integral si y sólo si $n$ es un primo (o $0$ ). De hecho, ésta es una de las formas de definir lo que significa que algo sea un elemento primo de un anillo arbitrario.
Para ser más específicos, si $n = ab$ con ambos $a$ et $b$ estrictamente mayor que $1$ entonces tampoco $a$ ni $b$ será $0$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pero $ab = n = 0$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
Por una afortunada coincidencia, siempre que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un dominio integral, también es un UFD (de hecho un PID). Esto se debe a que en ese caso, o bien $n$ es un primo, en cuyo caso el anillo es finito, y cualquier dominio integral finito es un campo (y claramente cualquier campo es un EPI), o $n = 0$ en cuyo caso se trata del anillo $\mathbb{Z}$ que es un dominio euclidiano (lo que implica que es un PID).
