¿Es mi prueba de $\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{n^2-1}{n+1}\right)=\infty $ ¿precisa?

Question

probar $$\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{n^2-1}{n+1}\right)=\infty $$

Mi prueba: Para cualquier $M $ existe $N $ tal que n>N (n es suficientemente grande) y así elegir $a_n$ >M

$\left(\frac{n^2-1}{n+1}\right)$ > M

$\frac{\frac{n^2}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}$ >M

n>M

Esto se muestra para cualquier M que pueda encontrar $a_n$ donde n>M, por lo que la secuencia se aproxima al infinito.

¿Tiene esto sentido?

Answer 1

Simplifica primero el límite: $$\lim_{n\to ∞} \frac{n^2-1}{n+1} = \lim_{n\to ∞} \frac{(n-1)(n+1)}{n+1} = \lim_{n\to ∞} (n-1)$$

Por lo tanto, se demuestra que $$\lim_{n\to ∞} \frac{n^2-1}{n+1} = ∞$$ está demostrando $$\lim_{n\to ∞} (n-1) = ∞$$

Answer 2

Demostrar por la definición que

$$ \lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{n^2-1}{n+1}\right)=\infty $$

debe demostrar que si $M>0$ entonces hay un $n_0>0$ tal que para cualquier $n>n_0$ , $\frac{n^2-1}{n+1}>M$ .

Prueba: Sea $M>0$ . Sea $n_0=M+1$ . Entonces, si $n>n_0$

\begin{eqnarray} n-1&>&M\\ (n-1)\cdot\frac{n+1}{n+1}&>&M\\ \frac{n^2-1}{n+1}&>&M \end{eqnarray}

Answer 3

Factor con diferencia de cuadrados para obtener $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}=\lim_{n\to\infty}(n-1)=\infty$$

Answer 4

Recuérdalo porque:

$$(n-1)(n+1)=n^2-1$$ lo tenemos:

$$n\neq -1 \implies \frac{n^2-1}{n+1}=n-1$$

Dado que estamos tomando el límite como $n\to \infty$ la condición puede ser ignorada por lo que sólo encontramos:

$$\lim_{n\to\infty}(n-1)$$ que es trivial $\infty$