Demostrar que ${\{f_n\}}_{n\in\Bbb{N}}$ tiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función continua en $[0,1]$

Question

Considere la secuencia ${\{f_n\}}_{n\in\Bbb{N}}$ donde para cada $n\in \Bbb{N}$ la función $f_n:[0,1] \to \Bbb{R}$ es absolutamente continua y satisface $f_n(0)=13$ et $$\int_{[0,1]}|f_n'|^4dx \le 7$$ La integración es la integración de Lebesgue. Demostrar que ${\{f_n\}}_{n\in\Bbb{N}}$ tiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función continua en $[0,1]$ .

Si $f_n$ es absolutamente continua, entonces $f_n$ es de variación acotada y $f_n=\int|f'_n|dx$ . Eso es todo lo que puedo pensar ahora. Entonces no tengo ni idea de qué hacer a continuación sobre esta cuestión. ¿Podría alguien proporcionar alguna ayuda?

Answer 1

Reclamación: La secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$  es equicontinuo. Es decir, para cada $x\in[0,1]$ et $\varepsilon>0$ existe alguna $\delta>0$ de manera que si $y\in[0,1]$ et $|y-x|<\delta$ entonces $$|f_n(y)-f_n(x)|<\varepsilon\quad\text{for every $ n\n\nmathbb N $.}$$

Prueba: Arreglar $n\in\mathbb N$ . En primer lugar, por la desigualdad de Hölder, se tiene que para cualquier $x\in[0,1]$ et $y\in[0,1]$ tal que $x\geq y$ : \begin{align*} \int_{[y,x]}|f_n'|\,\mathrm dt=&\,\int_{[y,x]}|f_n'|\times 1\,\mathrm dt\leq\left(\int_{[y,x]}|f_n'|^4\mathrm dt\right)^{1/4}\left(\int_{[y,x]}1^{4/3}\mathrm dt\right)^{3/4}\\ \leq&\,\left(\int_{[0,1]}|f_n'|^4\mathrm dt\right)^{1/4}\left(x-y\right)^{3/4}\leq\sqrt[4]{7(x-y)^{3}}. \end{align*}

En segundo lugar, la continuidad absoluta implica que $$f_n(x)=f_n(0)+\int_{[0,x]}f_n'\,\mathrm dt=13+\int_{[0,x]}f_n'\,\mathrm dt\quad\text{for every $ x\in[0,1] $}.$$ Ahora, para cualquier $x\in[0,1]$  y $y\in[0,1]$ tal que $x\geq y$ , $$|f_n(x)-f_n(y)|=\left|\int_{[y,x]}f_n'\,\mathrm dt\right|\leq\int_{[y,x]}|f_n'|\,\mathrm dt\leq\sqrt[4]{7(x-y)^{3}}.$$ Desde $n\in\mathbb N$ era arbitraria y la función $y\mapsto\sqrt[4]{7(x-y)^{3}}$ es continua en el intervalo $[0,x]$ para cualquier $x\in(0,1]$ la equicontinuidad de la secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$  sigue. $\blacksquare$

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Reclamación: La secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$  está acotado puntualmente. Es decir, para cada $x\in[0,1]$ existe una constante $M_x\geq 0$  tal que $$|f_n(x)|\leq M_x\quad\text{for each $ n\n\nmathbb N $}.$$

Prueba: Arreglar $x\in[0,1]$ . Para cualquier $n\in\mathbb N$ , uno tiene que $$|f_n(x)|\leq13+\int_{[0,x]}|f_n'|\,\mathrm dt\leq13+\sqrt[4]{7x^3}.$$ Por lo tanto, la secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$  está acotado puntualmente. $\blacksquare$

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Dado que $[0,1]$ es un espacio compacto de Hausdorff, el teorema de Arzelà-Ascoli implica que el conjunto $$\{f_n\,|\,n\in\mathbb N\}$$ es precompacto en $C[0,1]$ con respecto a la norma del sumo. La existencia de una subsecuencia uniformemente convergente se deduce fácilmente.