¿Puedo evaluar un límite multivariable utilizando caminos en lugar de la factorización?

Question

Tenía una pregunta en mi examen de cálculo que era:

Evaluar el límite

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{3x-3y}$$

Mi solución fue utilizar (junto con $y$ y a lo largo de $x$ ) y tengo $0$ en ambos caminos. Sin embargo, me descontaron notas porque mi doctor de cálculo dijo que debía factorizar primero en lugar de utilizar a lo largo de $y$ y a lo largo de $x$ caminos. Entonces, ¿es mi solución matemáticamente incorrecta? ¿Estoy obligado a hacer la factorización, o está bien usar caminos?

Answer 1

En teoría, se pueden utilizar los caminos, pero si se adopta ese enfoque habría que demostrar que el límite es cero para cada camino al origen. No basta con demostrar que hay dos caminos que dan el mismo límite. Así que, para este caso, ya que estás intentando demostrar que el límite existe, probablemente sería más sencillo demostrarlo directamente (por ejemplo, factorizando). El uso de trayectorias suele ser un buen método para demostrar que un límite existe no existen, porque en ese caso sólo hay que encontrar dos caminos con límites diferentes.

Answer 2

Debe excluir los puntos $y=x$ es decir $(x,x)$ porque la función no está definida allí. Para otros puntos tienes $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{3x-3y}= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{3}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{3}+\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y}{3}=0$$ Así que el factoring aquí, imho, es la mejor manera.

Answer 3

Se puede considerar el límite a lo largo de dos trayectorias que convergen a $(0,0)$ para demostrar que el límite no existe. Sin embargo, no se puede utilizar para mostrar que el límite existe.

Me gustaría abordar otra cuestión. Decir que

$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \ell $$

es decir que $\ell-\epsilon<f(x,y)<\ell+\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0$ para todos los puntos $(x,y)$ en algunos bola centrada en $(0,0)$ , sin tener en cuenta el centro $(0,0)$ . El radio de la bola variaría con $\epsilon$ y a menudo con el punto central $(0,0)$ también.

Ahora cada bola centrada en $(0,0)$ debe contener puntos en la línea $y=x$ . Puedes ver esto geométricamente, y escribir una ecuación simple para mostrarlo algebraicamente. Así, $f(x,y)$ es indefinido en algún momento $(x,x)$ en cada bola centrada en $(0,0)$ . Por lo tanto, no es cuestión de que el límite exista.