Estoy leyendo el libro de Rudin Functional Analsysi.En el centro de la prueba del Teorema 1.41 en la página 32,como inducir $$\pi (\{ x:d(x,0)<r\})=\{u:\rho (u,0)<r\}$$
Respuesta
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Voy a responder con mayor generalidad. Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial con una pseudometría invariable por traslación $d$ es decir, está dotado de una función simétrica $d:X\times X\to [0,\infty)$ tal que $d(x,x)=0$ , $d(x+a,y+a)=d(x,y)$ y se cumple la desigualdad del triángulo. Dado un subespacio $N$ de $X$ , defina una pseudométrica $\rho $ en $X/N$ por $$\rho(a+N,b+N)=\inf \left\{ d(a-b,v) : v\in N \right\} \tag1$$ La invariancia de tranlación de $d$ implica que (1) es efectivamente una pseudométrica. Sea $\pi:X\to X/N$ denota la proyección canónica que mapea cada elemento de $X$ a su clase de equivalencia $x+N$ . Entonces $$\pi(\{x:d(x,a)<r\}) = \{x+N:\rho(x+N,a+N)<r\} \tag2$$ La inclusión $\subseteq$ se desprende de $\rho(x+N,a+N)\le d(x,a)$ . Por el contrario, si $\rho(x+N,a+N)<r$ entonces (1) implica la existencia de $v$ tal que $d(x-a,v)<r$ . El vector $x+v$ pertenece a $\{x:d(x,a)<r\}$ y proyectos para $x+N$ .
