Dejemos que $p$ , $l$ sean enteros positivos y $\theta$ sea un parámetro. La cuestión es calcular la siguiente cantidad: \begin{equation} \kappa^{(p)}_l := \left. \frac{\partial^p}{\partial \theta^p} \binom{\theta}{l} \right|_{\theta=0} \end{equation} Con la ayuda de Mathematica encontramos el resultado para valores consecutivos de p. Tenemos: \begin{equation} \kappa^{(p)}_l = \left\{ \begin{array}{rr} \delta_{l,0} & \quad \mbox{if $p=0$} \\ \frac{(-1)^{l+1}}{l} & \quad \mbox{if $p=1$} \\ 2 (-1)^l \cdot \frac{H_{l-1}}{l} & \quad \mbox{if $p=2$} \\ 3 (-1)^l \cdot \frac{H^{(2)}_{l-1} - H_{l-1}^2}{l} & \quad \mbox{if $p=3$} \\ 4 (-1)^l \cdot \frac{2 H^{(3)}_{l-1} - 3 H^{(2)}_{l-1} H_{l-1}+H_{l-1}^3}{l} & \quad \mbox{if $p=4$} \\ 5 (-1)^l \cdot \frac{6 H^{(4)}_{l-1} - 8 H^{(3)}_{l-1} H_{l-1}-3 H^{(2)}_{l-1} H^{(2)}_{l-1}+6 H^{(2)}_{l-1} H_{l-1}^2 - H_{l-1}^4}{l} & \quad \mbox{if $p=5$} \\ \end{array} \derecho. \fin{de} si $l\ge 1$ y $\kappa^{(p)}_0=\delta_{p,0}$ . Aquí $H^{(p)}_l$ es el número armónico de orden $p$ . Ahora, la pregunta obvia sería encontrar el resultado para valores genéricos de $p$ .
Respuesta
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Para encontrar las derivadas solicitadas seguiría un esquema diferente, empezando por reescribiendo el binomio en la versión que utiliza el factorial descendente $$ \left( \begin{gathered} \theta \\ l \\ \end{gathered} \right) = \frac{{\theta ^{\,\underline {\,l\,} } }} {{l!}} $$ Ahora $\theta ^{\,\underline {\,l\,} } $ es un polinomio en $\theta$ de grado $l$ , que puede escribirse en términos de potencias de $\theta$ utilizando los Números Stirling (sin signo) de 1ª clase como $$ \theta ^{\,\underline {\,l\,} } = \theta \left( {\theta - 1} \right)\; \cdots \;\left( {\theta - l + 1} \right) = \sum\limits_{\left( {0\, \leqslant } \right)\,k\,\left( { \leqslant \,l} \right)} {\left( { - 1} \right)^{\,l - k} \left[ \begin{gathered} l \\ k \\ \end{gathered} \right]\theta ^{\,k} } $$ Como el polinomio coincide con su serie de MacLaurin, resulta que: $$ \left. {\frac{{\partial ^{\,p} }} {{\partial \theta ^{\,p} }}\left( \begin{gathered} \theta \\ l \\ \end{gathered} \right)} \right|_{\,\theta = 0} = \left. {\frac{{\partial ^{\,p} }} {{\partial \theta ^{\,p} }}\frac{{\theta ^{\,\underline {\,l\,} } }} {{l!}}} \right|_{\,\theta = 0} = \left( { - 1} \right)^{\,l - p} \frac{{p!}} {{l!}}\left[ \begin{gathered} l \\ p \\ \end{gathered} \right] $$
