Para una matriz aumentada dada $ A=\left(\begin{matrix} 4 & 6 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{matrix}\right) $ ¿cómo encontrar la solución particular, especial y genera? Estoy estudiando independientemente Álgebra Lineal pero me he atascado en este problema porque no tengo a quien preguntar. Para el libro de texto que estoy usando, creo que especial se entiende como el vector del espacio nulo.
Respuesta
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Drew Jolesch
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Voy a modelar cómo podemos encontrar el solución general aquí:
Tenemos la matriz aumentada, donde : $A = [A'\mid b\,]$ y $A'$ es un $2 \times 3$ matriz de coeficientes en el sistema $$A'X = {\bf b,\quad} \text{with}\;X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\;\text{and}\;{\bf b} = \begin{bmatrix} 2\\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ Así que tenemos
$$A = [A'\mid b\,] = \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Escribir el sistema de esta manera nos ayuda a recordar que tendremos una "variable libre" que contabilizar; escribir $A$ esta manera no añade ninguna información, y no quita ninguna información, de su matriz aumentada publicada:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix}$$
Así que procedemos a obtener la matriz en forma de fila-echelón.
Intercambiando filas y dividiendo cada fila por $2$ nos da $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad$
Y tomando $\;(-2 R_1 + R_2 \rightarrow R_2)\;$ nos da: $\;\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
He "llevado" la fila cero sólo para hacer evidente, después de reducir un poco nuestra matriz, que nuestro sistema no tiene único solución, sino infinitas soluciones: La matriz de coeficientes tiene rango $2 < 3$ .
Así que equiparamos la variable "libre" $z$ a algún parámetro, digamos $z = t.$ Luego leemos lo que esto nos dice sobre $x, y$ con respecto al parámetro $z = t$ .
$$\displaystyle x + 2z = 1 \iff x = 1 - 2t;\quad 3y - 5z = -1 \iff y = \frac53 t - \frac 13$$
Entonces la solución general viene dada por $\;\displaystyle X = \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix} \; = \;\begin{bmatrix} 1 - 2t \\ \frac 53t - \frac 13\\ t \end{bmatrix}$
Ahora bien, ¿puede partir de ahí, lo que podría ser una solución concreta? (Sugerencia: establecer $t$ igual al valor más sencillo que se te ocurra para simplificar la solución particular).
