Misterio de la derivada no evanescente

Question

Estudiar las integrales de línea complejas..

No veo por qué incluimos la "derivada no evanescente" en la definición de una curva suave.

Y aunque no está relacionado -- ¿es la integral de línea compleja un tipo de integral de Riemann-Stieltjes?

Parece que sí, pero puede que me falte un punto, no estoy tan seguro

Gracias de antemano

Por ejemplo:

Dejemos que $z(t)=t^2+it^3$ con $ t\in [0,1]$ entonces dices que lo siguiente es incorrecto

$$\int_ \Gamma f(z)dz $$ $=$ $$\int_0^1 f(z(t))z'(t)dt $$ .

Si no es así, ¿dónde está exactamente el problema?

¿O sólo visualmente habrá una cúspide pero todas las fórmulas - teoremas seguirán funcionando?

Answer 1

por qué incluimos la "derivada no evanescente" en la definición de una curva suave.

No por tener integrales. Las integrales funcionan sin esta suposición. Tener una parametrización localmente Lipschitz $z(t)$ es suficiente para dar sentido a las integrales y calcularlas de la forma habitual.

El autor del libro de texto probablemente asume esto para facilitar algunas pruebas: por ejemplo, una prueba de que la integral $\int_\gamma f $ es independiente de cómo parametrizamos $\gamma$ (siempre que la parametrización la recorra una vez y en la dirección dada).

la definición de una curva suave.

Además, esta definición no es sólo para las integrales. Podemos querer hablar de curvas suaves por sí mismas, apreciando su elegante forma y su sutil curvatura. Y al hacerlo, podemos no quiere llamar a esta curva "suave":

Tiene parametrización $z(t) = t^3 + i t^2$ . Existen derivados de todos los órdenes... pero por $z'(0)=0$ obtenemos lo que se ve en la trama.

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es la integral de línea compleja un tipo de integral de Riemann-Stieltjes

Puede definirse así. También puede definirse de otras maneras. La elección de la definición depende del autor del libro de texto.