Ancho de banda del filtro paso bajo: ¿se mide con la frecuencia de corte?

Question

Tengo el siguiente filtro de paso bajo Sallen & Key:

$$T(s)=\frac{\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}{s^2+(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2})s+\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}$$

Los valores de los parámetros son

• \$R_1=10 k\Omega\$
• \$R_2=10 k\Omega\$
• \$C_1=150 nF\$
• \$C_2=1.65 nF\$

En Mathematica he simulado la respuesta de la magnitud:

Ahora necesito encontrar una expresión para el ancho de banda del filtro. Sé que el ancho de banda de un filtro de paso bajo corresponde a la frecuencia de corte.

• ¿Cómo puedo calcular el ancho de banda en Mathematica?
• ¿La frecuencia de corte se mide a -3 dB de la ganancia de paso bajo, o al máximo del filtro? Sé que este pico que veo es esperado como Q>1.

Answer 1

Como tú eres un usuario de Mathematica, yo también lo usaré. Ahora podemos encontrar la respuesta de la magnitud utilizando el siguiente código:

In[1]:=R1 = 10*1000;
R2 = 10*1000;
C1 = 150*10^(-9);
C2 = (33/20)*10^(-9);
s = \[Omega]*I;
\[Omega] = 2*Pi*f;
x = (1/(R1*R2*C1*C2))/(s^2 + ((1/(R1*C1)) + (1/(R2*C1)))*
      s + (1/(R1*R2*C1*C2)));
FullSimplify[
 Sqrt[(ComplexExpand[Re[x]])^2 + (ComplexExpand[Im[x]])^2], 
 Assumptions -> f >= 0]

Y eso da:

Out[1]=1000000000/Sqrt[1000000000000000000 + 
 297 f^2 \[Pi]^2 (-652000000 + 33 f^2 \[Pi]^2)]

Y podemos resolver las frecuencias de corte usando:

$$\left|\underline{\mathcal{H}}\left(\omega\text{j}\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left|\underline{\mathcal{H}}\left(\hat{\omega}\text{j}\right)\right|\tag1$$

Usando Mathematica de nuevo, podemos ver que:

In[2]:=FullSimplify[Solve[{D[%1, f] == 0, f > 0}, f]]

Out[2]={{f -> (1000 Sqrt[326/33])/\[Pi]}}

In[3]:=FullSimplify[
 Solve[{Limit[%1, f -> (1000 Sqrt[326/33])/\[Pi]]*(1/Sqrt[2]) == %1,
    f > 0}, f]]

Out[3]={{f -> (1000 Sqrt[978/11 - 2 Sqrt[989/11]])/(3 \[Pi])}, {f -> (
   1000 Sqrt[2/11 (489 + Sqrt[10879])])/(3 \[Pi])}}

Así que, por el ancho de banda que encontrarás:

In[4]:=FullSimplify[(1000 Sqrt[2/11 (489 + Sqrt[10879])])/(3 \[Pi]) - (
  1000 Sqrt[978/11 - 2 Sqrt[989/11]])/(3 \[Pi])]

Out[4]=(2000 Sqrt[5379 - 77 Sqrt[4658]])/(33 \[Pi])

Así que:

$$\mathcal{B}=\frac{2000 \sqrt{5379-77 \sqrt{4658}}}{33 \pi }\approx214.635\space\text{Hz}$$