La mayoría de las sorprendentes aplicaciones del teorema de compacidad fuera de la lógica

Question

El teorema de compacidad tiene un montón de aplicaciones de la lógica y el modelo de la teoría. Estoy buscando aplicaciones. Estoy buscando teoremas en otras áreas de las matemáticas que a primera vista parecen no tener nada que ver con la lógica, pero que permiten una bastante simple prueba con la Compacidad. Por ejemplo, la existencia de la algebraicas cierre puede ser fácilmente probado de esa manera (ver JDH la respuesta en este MO pregunta), y el Marcador se muestra en su libro sobre el modelo de la teoría de que todos los inyectiva polinomio mapa de $\Bbb C^n \rightarrow \Bbb C^n$ es surjective.

¿Conoces algún otro ejemplo? Yo estaría muy agradecido, en particular para una aplicación fuera de álgebra, si es que hay alguno.

Answer 1

Sin embargo, otra versión de estos 'extensión' ejemplos: si un conjunto de figuras (polyominos, Wang azulejos, etc.) azulejos arbitrariamente grandes regiones en el plano (o, por ejemplo, si los azulejos de un cuarto de un plano infinito), entonces los azulejos de todo el avión. Esta es una aplicación directa de Konig del teorema, y la compacidad es otra manera de enmarcar el argumento; ver http://math.stackexchange.com/a/38751/785 para los detalles básicos de este enfoque.

Answer 2

Hay una muy buena prueba de compacidad que cada conjunto linealmente ordenado.

Para un conjunto $A$ definir el idioma $\mathcal L_A$ a tener el binario relación símbolo $<$, y una constante símbolo $c_a$, para cada $a\in A$.

Deje $T$ ser la teoría que indica que $<$ es un orden lineal, y para cada distinto $a,b\in A$ añadir un axioma $c_a\neq c_b$. No es difícil mostrar que cada finito $T_0\subseteq T$ tiene un modelo. Por compacidad $T$ tiene un modelo de $M$, $<^M$ linealmente órdenes. La función de $a\mapsto c_a^M$ es una inyección, por lo tanto, $A$ puede ser linealmente ordenado.

Answer 3

El teorema de compacidad es equivalente a varios otros resultados en matemáticas, incluyendo

• el ultrafilter lema,
• Piedra del teorema de representación,
• El teorema de Tychonoff compacto Hausdorff espacios, y
• el Banach-Alaoglu teorema (véase el este de matemáticas.SE post).

Answer 4

El teorema de compacidad se utiliza de forma rutinaria en Ramsey teoría combinatoria y teoría de grafos para dar un enlace entre finitary versiones y infinitary versiones de teoremas. Por ejemplo, si sabemos que cada infinita gráfica tiene un infinito subgrafo completo o un infinito antichain, podemos deducir que, para cada una de las $k$ hay un $n$ de manera tal que cada gráfico de $n$ vértices tiene un subgrafo completo de tamaño $k$ o un antichain de tamaño $k$. Yo creo que la gente en el campo vista de estas implicaciones como algo de rutina.

Answer 5

Similar a Carl Mummert ejemplo, si el Teorema de los Cuatro Colores tiene para todos los finita mapas en el plano, entonces se cumple para todos los infinitos mapas en el plano.