¿Por qué el isomorfismo se define así en la teoría de las categorías?

Question

En términos de una comprensión intuitiva de las categorías, me han dicho que piense en una categoría como "objetos con cierta estructura" y en un morfismo como "una transformación que preserva la estructura". (Esta comprensión obviamente se desmorona al considerar categorías abstractas, pero me parece que no tiene relación con mi problema, que es con su interpretación en categorías concretas)

Un isomorfismo significa entonces que los dos objetos en cuestión tienen una estructura exactamente idéntica. Me parece que no tenemos ninguna garantía de que esta noción sea captada en general por nuestra definición general de isomorfismo.

Si se preguntara a alguien que sólo conociera las estructuras algebraicas qué debería ser un isomorfismo en categorías concretas, la respuesta sería obviamente "un morfismo biyectivo", pero esto falla para los espacios topológicos.

Del mismo modo, si bien es cierto que "tener un morfismo con inverso" garantiza que dos objetos tienen una estructura idéntica para todas las categorías concretas que se me ocurren, ¿cómo sabemos que no hay algún tipo de estructura que viola nuestra noción actual de isomorfismo del mismo modo que los espacios topológicos violan la noción algebraica "ingenua"?

Answer 1

Una forma estándar de intentar explicar cómo un isomorfismo entre dos objetos de cualquier categoría significa precisamente que se parecen exactamente lo mismo en lo que respecta a esa categoría es a través de la incrustación de Yoneda.

En nuestra situación debemos observar que dos objetos $x,y$ en una categoría $C$ son isomorfos si y sólo si representan el mismo funtor, es decir, si y sólo si existe un isomorfismo natural entre los funtores $Hom_C(-,x)$ y $Hom_C(-,y)$ . En otras palabras, $x$ y $y$ son isomorfas si y sólo si admiten isomorfos establece de mapas de todos los demás objetos de $C$ . Dado que un isomorfismo natural no es más que una transformación natural cuyos componentes son biyecciones de conjuntos, esto reduce realmente la noción general de isomorfismo al concepto algebraico de "morfismo biyectivo", mostrando que en este sentido toda categoría es una categoría de estructuras algebraicas. En particular, esto no es circular: ¡no necesitamos saber ya qué es un isomorfismo en general para saber qué es un isomorfismo natural!

Así, si definimos " $x$ y $y$ tienen precisamente la misma estructura" que " $x$ y $y$ tienen el mismo aspecto que los codominios para todos los demás objetos de $C$ ", formalmente, $x$ y $y$ representan funtores naturalmente isomorfos, entonces la conservatividad de la incrustación de Yoneda prueba que nuestra noción de isomorfismo es la correcta.

Una posible queja es que se pregunte por qué no debemos decir que $x$ y $y$ son "iguales" si admiten los mismos mapas a cualquier otro objeto de $C$ en vez de desde. Por suerte, son equivalentes, ya que los objetos son isomorfos en $C$ si y sólo si son isomorfas en $C^\mathrm{op}$ . La principal queja que queda es que de alguna manera podríamos querer más de $x$ y $y$ que los otros objetos de $C$ verlos como si fueran lo mismo. Pero en ese caso, me parece claro que ya no estamos hablando de ninguna noción de igualdad en $C$ .

Answer 2

Esta respuesta aborda (o espero que lo haga) su preocupación en el segundo párrafo, al menos para los grupos. Tal vez dentro del marco de la categoría este enfoque se convierte en "trivial", pero no puedo decir más, ya que la teoría de la categoría está muy por encima de mis conocimientos.

Así, un grupo $G$ muestra su estructura en cuanto dejamos que la operación interna despliegue plenamente sus efectos. En consecuencia, podemos afirmar razonablemente lo siguiente:

Definición 1 . El estructura de un grupo $G$ es el conjunto $\theta_G:=\{\theta_a, a\in G\}\subseteq \operatorname{Sym}(G)$ , donde $\theta_a$ es la biyección en $G$ definido por: $g\mapsto \theta_a(g):=ag$ .

Aquí surge un problema, si queremos determinar si dos grupos, $G$ y $\tilde G$ "tienen la misma estructura", ya que en general $\operatorname{Sym}(G)\cap\operatorname{Sym}(\tilde G)=\emptyset$ y luego cualquier intento de "comparar por superposición" las estructuras $\theta_G$ y $\tilde\theta_\tilde G$ está condenada al fracaso. Podemos superar este problema "transportando" la estructura de $G$ en $\operatorname{Sym}(\tilde G)$ y ver si podemos hacer el "transportado $\theta_G$ " para que se superponga con $\tilde\theta_{\tilde G}$ . Si lo conseguimos, podremos decir con razón que $G$ y $\tilde G$ son isomorfo Desde que pudimos traer la estructura de una sobre precisamente la del otro. Así, con referencia al siguiente diagrama:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\las}[1]{\kern-1.5ex\xleftarrow{\ \ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} & & \\ G & \ras{\space\space\space f \space\space\space} & \tilde G \\ \da{\theta} & & \da{\tilde\theta} \\ \operatorname{Sym}(G) & \ras{\varphi^{(f)}} & \operatorname{Sym}(\tilde G) \\ \end{array} $$

exponemos este otro:

Definición 2 . Dos grupos, $G$ y $\tilde G$ , son isomorfas si existe una biyección $f\colon G\to \tilde G$ tal que el diagrama anterior conmuta, a saber:

$$\tilde\theta=\varphi^{(f)}\theta f^{-1}\tag 1$$

donde $\varphi^{(f)}\colon \operatorname{Sym}(G)\to \operatorname{Sym}(\tilde G)$ es la biyección "transportadora de estructuras" definida por $\sigma\mapsto f\sigma f^{-1}$ .

Ahora, como caracterización de tal biyección "habilitante" $f$ se cumple lo siguiente:

Reclamación . Dos grupos $G$ y $\tilde G$ son isomorfas (según la definición 2) si y sólo si existe una biyección $\psi\colon \tilde G \to G$ tal que:

$$\psi(\tilde a\tilde g)=\psi(\tilde a)\psi(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G \tag 2$$

Prueba .

\begin{alignat}{1} &\tilde\theta=\varphi^{(f)}\theta f^{-1} &\iff \\ &\tilde\theta_\tilde a(\tilde g)=(\varphi^{(f)}\theta f^{-1})(\tilde a)(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &\tilde a\tilde g=(\varphi^{(f)}\theta f^{-1})(\tilde a)(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &\tilde a\tilde g=(\varphi^{(f)}(\theta_{f^{-1}(\tilde a)}))(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &\tilde a\tilde g=(f\theta_{f^{-1}(\tilde a)}f^{-1})(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &\tilde a\tilde g=f(\theta_{f^{-1}(\tilde a)}(f^{-1}(\tilde g)), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &\tilde a\tilde g=f(f^{-1}(\tilde a)f^{-1}(\tilde g)), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G &\iff \\ &f^{-1}(\tilde a\tilde g)=f^{-1}(\tilde a)f^{-1}(\tilde g), \space\space\forall \tilde a,\tilde g\in \tilde G\\ \tag 3 \end{alignat}

Así que, $(1)\Rightarrow (2)$ , estableciendo $\psi:=f^{-1}$ y $(2)\Rightarrow (1)$ , estableciendo $f:=\psi^{-1}$ . $\space\space\Box$

Por lo tanto, una biyección entre dos grupos con la propiedad $(2)$ se llama con razón isomorfismo .