Demostrando que $\left(1+\frac{\varepsilon^2}{17n}\right)^n-1\leq \frac{\varepsilon^2}{16}$ cuando $0\leq \varepsilon\leq 1$

Question

Pregunta Demuestra que $\left(1+\frac{\varepsilon^2}{17n}\right)^n-1\leq \frac{\varepsilon^2}{16}$ cuando $0\leq \varepsilon\leq 1$ .

Esta desigualdad apareció en medio de un argumento que estaba leyendo y no estaba seguro de la justificación que se me ocurrió. Por el teorema del binomio podemos escribir $$ \begin{align} \left(1+\frac{\varepsilon^2}{17n}\right)^n-1&= \sum_{k=1}^n\left(\frac{\varepsilon^2}{17}\right)^k\frac{(n-1)\dotsb(n-k+1)}{n^{k-1}k!}\leq\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{\varepsilon^2}{17}\right)^k=\frac{\varepsilon^2}{17-\varepsilon^2}\leq\frac{\varepsilon^2}{16} \end{align} $$ desde $0\leq \varepsilon\leq 1$ . ¿Es correcto este argumento?

Answer 1

Sí. Un escolio importante aquí es una forma de la desigualdad de Bernoulli: si $x> -1$ , y si alguno de los dos $\alpha> 1$ y $x< \tfrac{1}{\alpha-1}$ o $\alpha< 0$ entonces $$(1+x)^{\alpha}<1+\frac{\alpha x}{1-(\alpha-1)x}\text{.}$$