Encuentra el área del triángulo APB, donde P es un punto $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ en una elipse y $A, B$ son sus puntos de radio $(a,0) (0,b)$

Question

Un punto $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$ se encuentra en la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ . Los puntos $A$ y $B$ tienen coordenadas $(a,0)$ y $(0,b)$ respectivamente. Demostrar que el área del triángulo $APB$ es: $$ \frac{1}{2}AB(\cos\theta + \sin\theta -1) $$

La longitud de $AB$ es $\sqrt{a^2 + b^2}$ y $C$ su punto medio, tiene las coordenadas $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ . Así que el área de $APB$ debe ser $\frac{1}{2}\cdot AB \cdot CP$ , donde:

$$ CP = \sqrt{\left(a\cos\theta - \frac{a}{2}\right)^2+\left(b\sin\theta - \frac{b}{2}\right)^2} $$

Pero esto se complica bastante. ¿Me estoy equivocando en alguna parte?

Answer 1

Un triángulo con dos lados dados por vectores ${\bf x}, {\bf y}$ tiene área $$\frac{1}{2}|{\bf x} \times {\bf y}|.$$ En este caso podemos tomar nuestros vectores como \begin{align} {\bf x} &= (a \cos \theta, b \sin \theta) - (a, 0) = (a(\cos \theta - 1), b \sin \theta)\\ {\bf y} &= (0, b) - (a, 0) = (-a, b). \end{align} Sustituyendo y simplificando se obtiene que el área es $$\frac{1}{2}ab|\cos \theta + \sin \theta - 1|,$$ y la comprobación muestra que podemos eliminar los símbolos de valor absoluto cuando $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ .