¿Cuál es la relación entre $(u\times v)\times w$ y $u\times(v\times w)$?

Question

Dados tres vectores $u$, $v$ y $w$, $(u\times v)\times w\neq u\times(v\times w)$. Esto ha sido un hecho establecido en mi clase reciente. Pero ¿cuál es la relación final entre ellos? Supondría que uno es un múltiplo escalar del otro?

Answer 1

Lo que se ve aquí por la desigualdad del lado izquierdo y el lado derecho es que el producto cruz (en este caso, el producto triple de vectores) no es asociativo $(\dagger)$:

$$(\vec u\times \vec v)\times \vec w\neq \vec u\times(\vec v\times \vec w)$$

Usando negrita para representar los vectores:

$$ \mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}\tag{1}$$

$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\times \mathbf{w} = -\mathbf{w}\times(\mathbf{u}\times \mathbf{v}) = -(\mathbf{w}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u} + (\mathbf{w}\cdot\mathbf{u})\mathbf{v}\tag{2}$$

Ver Wikipedia para más información sobre productos triples de vectores

$(\dagger)$ "En matemáticas, la identidad de Jacobi es una propiedad que una operación binaria [como el producto cruz triple de vectores] puede satisfacer y que determina cómo se comporta el orden de evaluación para la operación dada. A diferencia de las operaciones asociativas, el orden de evaluación es significativo para operaciones que satisfacen la identidad de Jacobi. Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi." (Wikipedia).

Answer 2

Como otros han mencionado, la relación definitiva entre $(u\times v)\times w$ y $u\times(v\times w)$ está dada por la identidad de Jacobi: $u \times (v \times w) + w \times (u \times v) + v \times (w \times u) = 0$.

Por lo tanto, $(u\times v)\times w = u\times(v\times w)$ si y solo si $v \times (w \times u) = 0$, y esto sucede si y solo si $u$ y $w$ son paralelos o $v$ es perpendicular tanto a $u$ como a $w$.

Answer 3

Por la expansión del producto triple vectorial: $$\newcommand{\u}{\boldsymbol{u}}\newcommand{\v}{\boldsymbol{v}}\newcommand{\w}{\boldsymbol{w}}\newcommand{\n}{\boldsymbol{n}}\newcommand{\s}{\boldsymbol{s}} (\u\times \v)\times \w - \u\times(\v\times \w) = (\u\cdot \v)\w - (\w\cdot \v)\u = \v\times(\w\times \u). $$

Aquí doy dos pruebas geométricas puras de la identidad de Jacobi basadas en la regla de la mano derecha del producto cruz. Puedes dibujar un dibujo por ti mismo para ver más claramente su relación geométrica.

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Sin pérdida de generalidad, considera la versión normalizada donde $\|\u\| = \|\v\| = \|\w\| = 1$.

Prueba geométrica 1: $\u\times \v$ es un vector perpendicular al plano $S_{\u\v}$ generado por $\u$ y $\v$, es decir, paralelo al vector normal unitario $n$ de $S_{\u\v}$ apuntando en la misma dirección. Asumimos que el ángulo entre $\w$ y este plano es agudo. Ahora realizamos el producto cruz con $\w$: $$ (\u\times \v)\times \w = \sin\alpha \,\n \times \w = \sin\alpha\,\n \times (\mathrm{Proj}_{S_{\u\v}} \w),\tag{1} $$ donde $\alpha$ es el ángulo entre $\u$ y $\v$. La proyección $\w_{\perp}$ se puede descomponer en dos partes si $\u$ y $\v$ no son paralelos: $$ \w_{\perp}:= \mathrm{Proj}_{S_{\u\v}} \w = a \u_{\perp} + b\v, $$ donde $$\u_{\perp} = \u - (\u\cdot \v)\v = \u - \cos\alpha \,\v\tag{2}$$ es perpendicular a $\v$. Producto punto en ambos lados con $\u_{\perp} $ y $\v$: $$ \w_{\perp} \cdot \u_{\perp} = a \sin^2 \alpha \quad \text{y}\quad \w_{\perp} \cdot \v = b, $$ y $$ \w_{\perp} \cdot \u_{\perp} = \|\w_{\perp}\| \|\u_{\perp}\|\cos(\alpha_u+\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\theta \sin\alpha \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha_v) $$ , y $$\quad \w_{\perp} \cdot \v=\|\w_{\perp}\| \|\v\| \cos\alpha_v = \sin\theta \cos\alpha_v, $$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\w$ y $\n$, $\alpha_u$ es el ángulo entre $\u$ y $\w_{\perp}$, y $\alpha_v$ es el ángulo entre $\v$ y $\w_{\perp}$, tal que $$\alpha_u + \alpha_v = \alpha.\tag{3}$$ Ahora $$ \w_{\perp}=\frac{\sin\theta\sin(\alpha_v)}{\sin\alpha}\u_{\perp} + \sin\theta \cos\alpha_v\,\v , $$ Observa que el producto cruz de $\n$ con un vector en el plano $S_{\u\v}$ está rotando el vector en $S_{\u\v}$ en sentido contrario a las manecillas del reloj por $\pi/2$ con respecto al normal $\n$: $$ \n\times \u_{\perp} = \|\u_{\perp}\|\v = \sin\alpha\,\v $$ y $$ \n\times \v= -\u_{\perp}/\|\u_{\perp}\| = -\u_{\perp}/\sin\alpha $$ Finalmente, mediante (2) y (3), (1) se convierte en (4): $$ \begin{aligned} (\u\times \v)\times \w =&\sin\alpha\sin\theta\sin\alpha_v\,\v - \sin\theta \cos\alpha_v\, \u + \sin\theta \cos\alpha_v\cos\alpha \,\v \\ =&-\sin\theta \cos\alpha_v\, \u+ \sin\theta \cos(\alpha-\alpha_v)\,\v = -\sin\theta \cos\alpha_v\, \u + \sin\theta \cos\alpha_u \,\v. \end{aligned}$$ Para $\theta$ es el ángulo entre $\w$ y el normal del plano $\u\v$, dibujando una línea perpendicular desde la punta de $\w$ a $\v$ podemos ver $$ \sin\theta \cos\alpha_v = \sin\theta\, \w_{\perp}\cdot \v = (\w\cdot \v), $$ similarmente $\sin\theta \cos\alpha_u = (\w\cdot \u)$, (4) es $$ (\u\times \v)\times \w = (\w\cdot \u)\v - (\w\cdot \v)\u. $$

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Prueba geométrica 2: Sea $$ \s = (\u\times \v)\times \w, $$ Es fácil ver a partir del argumento anterior, que $\s$ yace en el plano de $\u\v$, mientras que es perpendicular a $\w$. Por lo tanto, nuevamente tenemos: $$ \s = a\u+b\v, $$ Al hacer producto punto con $\w$ vemos que: $$ \s\cdot \w = 0 = a(\u\cdot \w)+b(\v\cdot \w), $$ Por lo tanto $$ a = c(\v\cdot \w) \quad \text{y}\quad b = -c(\u\cdot \w), $$ por lo tanto: $$ \s = c(\v\cdot \w)\u-c(\u\cdot \w)\v \tag{5} $$ Ahora realizamos el producto cruz con $\u$ en ambos lados de la ecuación (5), el lado izquierdo es: $$\begin{aligned} \s\times \u &=\big( (\u\times \v)\times \w \big)\times \u = (\sin\alpha\,\n\times \w)\times \u \\ &=\sin\alpha( \n\times\w_{\perp})\times \u \end{aligned} $$ A partir de lo anterior sabemos que $ \n\times\w_{\perp}$ es la rotación en sentido antihorario de $\w_{\perp}$ por $\pi/2$ en este plano con respecto al normal $\n$, por lo que el ángulo entre $\n\times\w_{\perp}$ y $\u$ es $\pi/2 + \alpha_u$ (la definición anterior se ve arriba (3)), y $$ \s\times \u = -\sin\alpha \sin\theta \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha_u)\n = -\sin\alpha \sin\theta \cos(\alpha_u)\,\n. $$ El lado derecho de la ecuación (5) es: $$ -c(\u\cdot \w)\v \times \u = c(\u\cdot \w)\sin\alpha\,\n = c\sin\theta \cos(\alpha_u)\sin\alpha \,\n. $$ Por lo tanto $c = -1$, y (5) es: $$ (\u\times \v)\times \w = (\w\cdot \u)\v - (\w\cdot \v)\u. $$

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Ahora para cualquier conjunto de tres vectores en general podemos usar la fórmula para los vectores normalizados y $$ \left(\frac{\u}{\|\u\|}\times \frac{\v}{\|\v\|}\right)\times \frac{\w}{\|\w\|} = \left(\frac{\w}{\|\w\|} \cdot \frac{\u}{\|\u\|}\right)\frac{\v}{\|\v\|} - \left(\frac{\w}{\|\w\|} \cdot \frac{\v}{\|\v\|}\right)\frac{\u}{\|\u\|}, $$ cancelando sus normas nos daría el resultado.