¿Cuántos icosaedros regulares diferentes se pueden formar asignando números del 1 al 20 a las caras?

Question

"¿Cuántos icosaedros regulares diferentes es posible hacer asignando números del 1 al 20 a sus caras? Supongamos que todas las caras son indistintas".

Estaba tratando de resolverlo de la siguiente manera: el número total será $20!/x$ Considerando que las rotaciones son posibles y utilizando permutaciones simples contaría el mismo icosaedro " $x$ " tiempos. El problema es encontrar el valor de $x$ .

Answer 1

Hay tres números que rodean la cara con "20". Elígelos: $\tbinom{19}3$ y decidir si aumentan en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario: $2$ , entonces coloca los otros números en el icosaedro que ahora es fijo: $16!$

Resultado: $\tbinom{19}3\cdot2\cdot16!=\tfrac13\cdot19!$

Answer 2

Si se especifica que una cara es invariable, x=20y, pero esto sigue sin tener en cuenta las rotaciones alrededor del eje que pasa por la cara. Entonces, si se especifica otra cara adyacente que no es la cara opuesta a la cara invariante para ser invariante, que especifica completamente la orientación del isocáedro. Por lo tanto, ya que hay tres caras adyacentes, y = 3 y x = 60 por lo que el número total de opciones es 20! / 60.

(Esta es una versión corregida de un comentario publicado cuando la pregunta estaba en espera. Gracias a tmyklebu por señalar un error).