Encontrar el complemento ortogonal de un subespacio complejo

Question

Dejemos que $i := \sqrt{-1}$ . Considere $W \subseteq \mathbb{C}^3$ definido por $W := \{(1, 0, i),(1, 2, 1)\} $ . Encuentre $W^\perp$ .

Mi mayor problema es no saber cómo ampliar la base de $W$ a una base de $\mathbb{C}^3$ . Después, sé que tendría que hacer el proceso Gram-Schmidt.

Answer 1

Método 1: Para responder directamente a su pregunta, el complemento ortogonal de la extensión del subespacio bidimensional abarcado por $(1,0,i)$ y $(1,2,1)$ es un subespacio unidimensional. Supongamos que este subespacio está abarcado por el vector $(a,b,c)$ . Para $(a,b,c)$ para ser ortogonal a ambos $(1,0,i)$ y $(1,2,1)$ los productos internos (punto) deben ser cero. En otras palabras, $(a,b,c)$ debe satisfacer $$ a-ci=0\qquad\text{and}\qquad a+2b+c=0. $$ Una solución no nula de este sistema es una base para el complemento ortogonal.

Método 2: Para obtener una base, es más fácil empezar con un conjunto de extensión y reducirlo a una base que obtener la base directamente. Obsérvese que $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ forman una base para $\mathbb{C}^3$ . Por lo tanto, los vectores de $\{(1,0,i),(1,2,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ forman un subconjunto de extensión de $\mathbb{C}^3$ . Considere la posibilidad de añadir $(1,0,0)$ a $\{(1,0,i),(1,2,1)\}$ o bien los vectores de este nuevo conjunto $\{(1,0,i),(1,2,1),(1,0,0)\}$ son linealmente independientes o linealmente dependientes. Si son independientes, entonces tienes una base. Si son dependientes, entonces la extensión de los vectores en $\{(1,0,i),(1,2,1)\}$ es el mismo que el tramo de los vectores $\{(1,0,i),(1,2,1),(1,0,0)\}$ Por lo tanto, lanza $(1,0,0)$ y continuar con $(0,1,0)$ . Al final tendrás una base porque el conjunto original se extendía.

Answer 2

El producto cruzado se adapta bien al caso de encontrar un vector ortogonal a otros dos en un espacio tridimensional.

Edición: Como se señala más adelante, el producto cruzado complejo difiere de la versión habitual de valor real en que requiere la conjugación. Véase esta pregunta de stackexchange .