Factorización de funtores

Question

Me gustaría probar la siguiente afirmación :

Cualquier functor $F : C \rightarrow D$ se puede factorizar como $C \overset{L} {\longrightarrow} E \overset{R}{\longrightarrow} D$ , donde $L$ es biyectiva en los objetos y completa y $R$ es fiel.

$L$ es biyectiva en los objetos si el mapa $A \mapsto F(A)$ es biyectiva para todo $A \in Ob(C)$ . $L$ está lleno si $Hom_C(A, B) \ni f \mapsto L(f) \in Hom_E(L(A), L(B))$ es una suryección, donde $A, B \in Ob(C)$ y $R$ es fiel si $Hom_E(A, B) \ni f \mapsto R(f) \in Hom_D(R(A), R(B))$ es una inyección, donde $A, B \in Ob(E)$ .

Lamentablemente, no entiendo cómo demostrar la afirmación anterior. ¿Puede alguien explicarme cómo proceder?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Las condiciones dadas son prácticamente una receta explícita para construir la factorización.

Desde $L$ es biyectiva sobre los objetos, entonces (hasta el isomorfismo) los objetos de $E$ son los objetos de $C$ . Es obvio lo que $L$ y $R$ debe hacer en los objetos.

Para cada par de objetos $x,y$ de $C$ , $F$ da una función $\hom_C(x, y) \to \hom_D(F(x), F(y))$ . La condición de que $L$ está lleno y $R$ es un medio fiel $\hom_C(x, y) \to \hom_E(x, y) \to \hom_D(F(x), F(y))$ es una epi-mono-factorización de esa función. (Hasta el isomorfismo) que también es única.

Desde $R$ es fiel, eso nos dice qué composición tiene que haber en $E$ .

Así que eso nos dice exactamente lo que es todo:

• Los objetos de $E$ son los objetos de $C$ .
  • $L(x) = x$
  • $R(x) = F(x)$
• $\hom_E(x,y)$ es la imagen de $\hom_C(x,y) \to \hom_D(F(x), F(y))$ .
  • $L(f) = F(f)$
  • $R(f) = f$
• $f \circ_E g = f \circ_D g$

Lo único que queda es comprobar que $E$ es en realidad una categoría y que $L$ y $R$ son en realidad funtores.