Tal y como dice el título: ¿Cuál es el producto de un número incontable de 1s? Intuitivamente, la respuesta es 1, pero ¿cómo se define ese producto en general?
Respuesta
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Como 5xum dijo en los comentarios, depende de cómo se defina el producto de un conjunto incontable de números reales. Supongamos que $\Lambda$ es un conjunto de índices incontables, y $a_\lambda\in\Bbb R$ para cada $\lambda\in\Lambda$ . Quizás la definición más natural de $\prod_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda$ es la siguiente.
Dejemos que $\mathscr{F}$ sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $I$ ; $\mathscr{F}$ es dirigido por $\subseteq$ . Para cada $F\in\mathscr{F}$ dejar $a_F=\prod_{\lambda\in F}a_\lambda$ Entonces $\nu=\langle a_F:F\in\mathscr{F}\rangle$ es un red de números reales, y decimos que $\nu$ converge a $a\in\Bbb R$ si y sólo si para cada $\epsilon>0$ hay un $F_\epsilon\in\mathscr{F}$ tal que $|a_F-a|<\epsilon$ siempre que $F_\epsilon\subseteq F\in\mathscr{F}$ . Si $\nu$ converge a algún $a\in\Bbb R$ definimos $\prod_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=a$ ; en caso contrario, el producto es indefinido. (No es difícil ver que $\nu$ puede converger como máximo a un número real).
Si aplicamos esta definición al ejemplo concreto de su pregunta, en el que $a_\lambda=1$ para todos $\lambda\in\Lambda$ encontramos que $a_F=1$ para cada $F\in\mathscr{F}$ , así que claramente $\nu$ converge a $1$ por lo que el producto es $1$ (con esta definición de producto).
