Integral sobre la bola unitaria

Question

Esta pregunta se ha hecho antes, pero no la entendí, así que trabajé en ella por mi cuenta y me quedé atascado. Cualquier ayuda se agradece.

Dejemos que $A$ sea la región en $\Bbb R^2$ delimitada por la curva $x^2-xy+2y^2=1$ . Expresa la integral $\int _A xy$ como una integral sobre la bola unitaria en $\Bbb R^2$ centrado en $0$ . Pista: Completa el cuadrado.

Esto es lo lejos que podía llegar y se atascó:

$x^2-xy-2y^2=\frac 78 x^2+(\frac18 x^2-xy+2y^2)=(\sqrt \frac 78 x)^2+(\frac1{2\sqrt2 x}-\sqrt 2 y)^2$

Entonces, puse $u=\frac 78 x, v=\frac1{2\sqrt2 x}-\sqrt 2 y$

No sé cómo a partir de esto puedo proceder a utilizar el teorema del cambio de variables.

Gracias de antemano.

Answer 1

Debe establecer un cambio de variable lineal. La curva que delimita la región $A$ puede escribirse como $$(x-\frac y2)^2 + \frac 74 y^2 = x^2 - xy + \frac 14 y^2 + \frac 74 y^2 = 1$$

Por lo tanto, defina las nuevas coordenadas $u = x - \dfrac y2$ y $v = \dfrac{\sqrt 7}{2} y$ . La transformación $T : (x,y) \to (u,v)$ transforma $A$ en el disco de la unidad $D$ . El teorema del cambio de variable es más conveniente para utilizar la transformación inversa $S = T^{-1} : (u,v) \to (x,y)$ dado por $$ x = u + \frac{1}{\sqrt{7}} v\quad y = \frac{2}{\sqrt 7}v$$ que transforma el disco unitario $D$ en $A$ .

Desde $SD = A$ el teorema del cambio de variables establece que $$\int_{A} f(x,y) \,dxdy = \int_{SD} f(x,y) \,dxdy = \int_D f(S(u,v))|JS| \, dudv$$ donde $|JS|$ es el jacobiano de $S$ .

La última integral no es difícil de manejar: usando $f(x,y) = xy$ se obtiene $$f(S(u,v)) = \left(u + \frac{1}{\sqrt{7}} v \right) \left(\frac{2}{\sqrt 7}v \right) = \frac{2}{\sqrt 7} uv + v^2$$ y $$|JS| = \frac{2}{\sqrt 7}.$$

Por lo tanto, lo que hay que evaluar es $$\int_D \frac{4}{7} uv + \frac{2}{\sqrt 7} v^2 \, dudv.$$

Las coordenadas polares deberían hacer el trabajo bien.

Answer 2

$$x^2-xy+2y^2 = (x-y/2)^2 + \frac{7}{4}y^2 $$ por lo que al establecer $u=x-\frac{y}{2},v=y$ que tenemos: $$ I = \int_{u^2+\frac{7}{4}v^2\leq 1}v\left(u+\frac{v}{2}\right)\,du\,dv=\frac{4}{7}\int_{u^2+w^2\leq 1}w\left(u+\frac{w}{\sqrt{7}}\right)\,du\,dv$$ y explotando la simetría: $$ I = \frac{4}{7\sqrt{7}}\int_{u^2+w^2\leq 1}w^2\,du\,dw =\frac{16}{7\sqrt{7}}\int_{0}^{1}(1-t^2)\,dt=\color{red}{\frac{32}{21\sqrt{7}}}.$$