Encontrar el coeficiente de $x^3y^4z^5$ en polinomio $(x + y + z)^8(x + y + z + 1)^8$

Question

Encuentre el coeficiente de $x^3y^4z^5$ en polinomio $(x + y + z)^8(x + y + z + 1)^8$

Es bastante fácil ver que nuestro objetivo es elegir entre cada multiplicador de este polinomio $x,y,z,1$ en determinadas cantidades. Como la suma de las potencias es igual a $12$ y tenemos $16$ multiplicadores, tenemos que elegir cuatro $1$ 's. Hay $\displaystyle {8 \choose 4}$ formas de elegir $1$ como parte de nuestro producto (en realidad, cuatro $1$ 's). Pero, ¿cómo manejamos lo que nos queda? Parece que en esa solución tenemos que considerar muchos casos.

Answer 1

Objetivo: Encontrar el coeficiente de $\ x^3y^4z^5\ $ en $\ (x + y + z)^8(x + y + z + 1)^8$

Primero amplíen $$(1+(x+y+z))^8=\sum_{r=0}^{8} {8 \choose r}(x+y+z)^r$$ Ahora multiplicando $(1+(x+y+z))^8$ con $(x+y+z)^8$ nos da,

$$(x+y+z)^8(1+(x+y+z))^8=\sum_{r=0}^{8} {8 \choose r}(x+y+z)^{r+8} \label{1} \tag{1}$$

Ahora, utilizando el teorema multinomial, el coeficiente de $x^3y^4z^5$ en $(x+y+z)^n$ es $\Large{}{n \choose {3,\ 4,\ 5}}$ sólo cuando $n=12$ .

Aplicando la misma lógica en la ecuación $(1)$ obtenemos el coeficiente como

$$\sum_{r=0}^{8} {8 \choose r}* {8+r \choose {3,\ 4,\ 5}}$$ para que podamos arreglar $r=4$ y la respuesta que obtenemos es $${8\choose4}*{12\choose{3,4,5}}$$

Para una respuesta computacionalmente rigurosa, véase Buscador de coeficientes de Wolfram Alpha

Answer 2

Quieres elegir 3 $x$ 's, 4 $y$ y 5 $z$ de los 12 "multiplicadores" restantes, por lo que ahora estás eligiendo literalmente qué multiplicador quieres para cada variable. Por lo tanto, hay $$\binom{12}{3}\binom{12-3}{4}\binom{12-3-4}{5}$$ formas de hacerlo

$\textbf{Side note}$ La expresión aquí se escribe a menudo como $$\binom{12}{3,4,5}=\frac{12!}{3!4!5!}$$ como coeficiente multinomial. El orden 3,4,5 no importa (para una prueba sencilla, escribe los coeficientes binomiales en términos de factoriales, y las cosas se cancelarán bien)