Resolver un problema escrito con matriz

Question

Tengo el siguiente problema descrito aquí:

El gobierno atribuye una asignación a los niños que se benefician de los servicios de guardería. Los niños se dividen en 3 grupos: preescolar, primer ciclo y segundo ciclo. La asignación es diferente para cada grupo, 2$ para el primer ciclo y los demás son desconocidos, llamémoslos x e y. Por otra parte, analizamos los siguientes datos de 3 escuelas diferentes

Escuela Arco Iris: 43 niños de preescolar, 160 de primer ciclo y 140 de segundo ciclo. Asignación total: 589$

Escuela Cumulus: 50, 170, 160 total: k(desconocido)

Escuela Nimbus: 100, 88, 80 total: 556$

Ahora, debo representar el siguiente problema con una ecuación matricial, he probado lo siguiente:

$$ M = \begin{array}{cccc} 43x & 320 & 140y & 589 \\ 50x & 340 & 160y & k \\ 100x & 176 & 80y & 556 \end{array} $$

No estoy seguro de que tenga sentido y tampoco sé cómo resolverlo. ¿Y ahora qué?

Answer 1

Creo que hay una solución más fácil. Toma las escuelas Rainbow y Nimbus solas. Esto produce un sistema de ecuaciones: $$ 43x+320+140y=589\\ 100x+176+80y=556. $$ Dos variables y dos ecuaciones significa que puedes encontrar las soluciones para $x$ y $y$ . A continuación, puede introducir esos valores en su fórmula para el Cúmulo y encontrar $k$ .

EDIT: si sabes que $x$ y $y$ son números enteros, puede introducir algunos valores bajos y probablemente encontrará $x,y$ sin resolver el sistema correctamente.

Answer 2

En realidad lo que tienes es un sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{array}{cc}43x+320+140y=589 \\ 50x+340+160y=k \\ 100x+176+80y=556\end{array}\right.$$

Tienes tres ecuaciones y tres incógnitas, lo cual es básicamente algo bueno ya que quieres una solución.

Lo primero que hay que hacer es poner las incógnitas en el lado izquierdo del sistema y las constantes en el otro lado:

$$\left\{\begin{array}{cc}43x+140y=589-320=269 \\ 50x+160y-k=-340 \\ 100x+80y=556-176=380\end{array}\right.$$

El siguiente paso es escribirlo como una ecuación vectorial:

$$\left(\begin{array}{cc}43x+140y \\ 50x+160y-k \\ 100x+80y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}269\\-340\\380\end{array}\right)$$

Que también puede escribirse en forma de matriz:

$$\left[\begin{array}{cc}43 & 140 & 0 \\ 50 & 160 & -1 \\ 100 & 80 & 0\end{array}\right]\left(\begin{array}{cc}x\\y\\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}269\\-340\\380\end{array}\right)$$

También puede optar por dejar $k$ a un lado mientras se encuentra $x$ y $y$ y sustituyéndolos de nuevo en la ecuación para obtener $k$ . Esto te daría:

$$\left[\begin{array}{cc}43 & 140 \\ 100 & 80\end{array}\right]\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}269\\380\end{array}\right)$$

De cualquier manera, el método es el mismo. Escribe tu ecuación como:

$$AX=B$$

Donde $A=\left[\begin{array}{cc}43 & 140 \\ 100 & 80\end{array}\right]$ , $X=\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ and $B=\left(\begin{array}{cc}269\\380\end{array}\right)$ . (O las versiones en 3 dimensiones)

Ahora la solución $X$ de su ecuación es:

$$X=A^{-1}B$$

si $A$ es no singular (invertible)