Implicaciones de la solubilidad de las ecuaciones módulo de todos los números naturales

Question

Dejemos que $P(x_1,x_2,...,x_n)=0$ sea una ecuación polinómica diofantina dada en $n$ variables con coeficientes enteros (por ejemplo $x_1^2+3x_2-10+x_1x_2^4=0$ ).

Supongamos además que esta ecuación tiene una solución modulo cada número natural $m$ . Es decir, para cada número natural $m$ podemos asignar valores enteros a $x_1,x_2,...,x_n$ tal que $P(x_1,x_2,...,x_n)$ es divisible por $m$ .

¿Implica esto que la ecuación $P(x_1,x_2,...,x_n)=0$ tiene soluciones enteras?

(Es evidente que tiene una solución modulo cada natural $m$ es una condición necesaria para $P(x_1,x_2,...,x_n)=0$ tener soluciones. Me interesa si también es suficiente).

Answer 1

Como ejemplo extremo, utilice $x^2+y^2+z^2+w^2+1=0$ . Hay soluciones modulares para cada $m$ pero no hay soluciones enteras.

Es útil añadir la condición de que existan soluciones reales. Existe una amplia bibliografía al respecto. Para más detalles, busque en Principio de Hasse .