Prueba $2^n \in \mathcal{O}(n!)$

Question

¿Puede alguien ayudarme con esto? Hasta ahora lo he hecho:

$2^n < c * n!$ para todos $n \ge k$ , donde $c > 0$ y $k > 0$

$\frac {(2^n)}{n!} < c$ para todos $n \ge k$

No estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Si $n\ge3$ , $$\frac{2^n}{n!}=\frac{8\cdot 2^{n-3}}{6\prod_{k=4}^nk}\le\frac{2^n}{6\cdot 4^{n-3}}=\frac{32}{3}2^{-n}\in o(1).$$