Demostrar la desigualdad $x^sy^{1-s} \leq sx + (1-s)y$

Question

Dado $s \in (0,1)$ , demuestre que $$x^sy^{1-s} \leq sx + (1-s)y$$ para $x,y > 0$

Intenté algunas manipulaciones algebraicas pero supongo que necesito usar algún truco. ¿Alguna sugerencia, pista?

Answer 1

Recordemos que el logaritmo natural es una función cóncava. Es decir, $$\log(sx + (1 - s)y) \ge s\log(x) + (1 - s)\log(y)$$ para todos $x, y > 0$ y $s \in [0, 1]$ . Utilizando las leyes de los troncos, $$\log(sx + (1 - s)y) \ge \log(x^s y^{1-s}).$$ Recordemos que la exponencial natural es una función monótona creciente, lo que significa que respeta las desigualdades. Tomando la exponencial de ambos lados se obtiene la desigualdad deseada.

Answer 2

Sugerencia :

$$\ln(x^sy^{1-s})=s\ln(x)+(1-s)\ln(y)\underset{why\ ?}{\leq} \ln(sx+(1-s)y)$$

Answer 3

Una pista:

Su desigualdad equivale a $sx + (1-s) \ge x^s$ para todos $x \ge 0$ y $1\ge s$ .

Por lo tanto, todo lo que hay que hacer es analizar la función $f(x)= x^s - sx -(1-s)$