Derivadas parciales : Demuestre que $\frac{∂x}{∂y}\frac{∂y}{∂z}\frac{∂z}{∂x}=-1$

Question

Dejemos que $f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Cómo puedo demostrar que

Si $f(x,y,z)=0$ entonces $$\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}=-1 $$

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Para entender por qué $$ \frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -1$$ Hay que saber qué significan esos símbolos.

En la expresión anterior, $\frac{\partial x}{\partial y}$ es una abreviatura de $\frac{\partial X(y,z)}{\partial y}$ donde $X(y,z)$ es el valor de $x$ que resuelve la ecuación $f(x,y,z) = 0$ para un determinado $y,z$ es decir, $X(y,z)$ es una función que satisface $f(X(y,z),y,z) = 0$ .

Diferencia parcial contra $y$ y aplicar la regla de la cadena, se obtiene

$$\frac{\partial X(y,z)}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)|_{x=X(y,z)} + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)|_{x=X(y,z)} = 0 \quad\implies\quad \frac{\partial x}{\partial y} \stackrel{def}{=} \frac{\partial X(y,z)}{\partial y} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}$$ Por un argumento similar, tenemos

$$\frac{\partial y}{\partial z} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\partial f}{\partial y}} \quad\text{ and }\quad \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$$

Multiplique estos $3$ relaciones juntas, se deduce la identidad:

$$\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = \left(-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) \left(-\frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) \left(-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}\right) = -1$$